Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=，CD=1，BC=2，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿著B(niǎo)C方向以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作射線BA的垂線PQ，垂足為Q．設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜2），△PBQ與直角梯形ABCD重疊部分的面積為S．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)PQ與線段AD相交于點(diǎn)H，是否存在一個(gè)圓，使得該圓內(nèi)切于梯形ABPH？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，根據(jù)已知得出BH，AH的長(zhǎng)，即可得出tanB=的值，即可得出角B的度數(shù)；
（2）分別根據(jù)①如圖1，當(dāng)0＜t≤時(shí)，②當(dāng)＜t＜2時(shí)，分別求出S與t的關(guān)系時(shí)即可；
（3）利用切線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)表示出圓的半徑，進(jìn)而得出即可．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∵AD=，BC=2，CD=1，
∴BH=，AH=CD=1，
∵在Rt△AHB中
tanB===，
∴∠B=30°；

（2）①如圖1，當(dāng)0＜t≤時(shí)，
∵BP=t，PQ=，BQ=t，
∴S=×t×=t²；
②當(dāng)＜t＜2時(shí)，
如圖2，設(shè)PQ與線段AD交于點(diǎn)H，
∵BP=t，∴BQ=t，PQ=
又∵AB==2，
∴AQ=t-2，
∵AD∥BC，
∴∠QAH=∠B=30°，
∴Rt△QAH中，由勾股定理得出：
QH=（t-2），
∴S=S_△BQP-S_△AQH
=t²-×（t-2）××（t-2）
=t²-（t-2）²
=t-，
綜上所述：S=；

（3）存在；理由如下：
如圖3，設(shè)⊙O內(nèi)切于梯形ABPH，
M，N，L分別是AB，PH，BP邊的切點(diǎn)，則⊙O的半徑r=CD=，
且BM=BL，PL=PN，
又∵⊙O也是Rt△BPQ的內(nèi)切圓，
∴QM=QN，
∴四邊形QMON是正方形，
∴r==，
即t+-t=1，
解得：t=+1，
∴當(dāng)t=+1時(shí)，存在一個(gè)圓使該圓內(nèi)切于梯形ABPH．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．