Question

如圖，矩形ABCD的頂點A、B的坐標分別為（-4，0）和（2，0），BC=2

3

．設直線AC與直線x=4交于點E．
（1）求以直線x=4為對稱軸，且過C與原點O的拋物線的函數關系式，并說明此拋物線一定過點E；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為N，M是該拋物線上位于C、N之間的一動點，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設直線x=4與x軸的交點為F，易證得△ABC∽△AFE，根據相似三角形得到的比例線段即可求出EF的長，也就得到了E點的坐標；可用待定系數法求出拋物線的解析式，然后將E點坐標代入其中進行判斷即可；
（2）過M作y軸的平行線，交直線CN于P，交x軸于Q；根據拋物線的解析式可求出N點的坐標，進而可求出直線CN的解析式，設出Q點的坐標，即可根據拋物線和直線的解析式求出MP的長；以MP為底，C、N的橫坐標差的絕對值為高即可得到△CMN的面積，由此可求出關于△CMN的面積與Q點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可得到△CMN的最大面積．

解答：解：（1）設拋物線的函數關系式為：y=a（x-4）²+m，
∵拋物線過C與原點O，
∴

16a+m=0 4a+m=2 3

，
解得：

a=- 3 6 m= 8 3 3

，
∴所求拋物線的函數關系式為：y=-

3

6

（x-4）²+

8 3

3

，
設直線AC的函數關系式為y=kx+b，

-4k+b=0 2k+b=2 3

，
解得：

k= 3 3 b= 4 3 3

．
∴直線AC的函數關系式為：y=

3

3

x+

4 3

3

，
∴點E的坐標為（4，

8 3

3

）
∴此拋物線過E點．
（2）過M作MQ∥y軸，交x軸于Q，交直線CN于P；
易知：N（8，0），C（2，2

3

）；
可得直線CN的解析式為y=-

3

3

x+

8 3

3

；
設點Q的坐標為（m，0），則P（m，-

3

3

m+

8 3

3

），M（m，-

3

6

m²+

4 3

3

m）；
∴MP=-

3

6

m²+

4 3

3

m-（-

3

3

m+

8 3

3

）=-

3

6

m²+

5 3

3

m-

8 3

3

；
∴S=S_△CMN=S_△CPM+S_△MNP=

1

2

MP•|x_M-x_C|+

1

2

MP•|x_N-x_M|=

1

2

MP•|x_N-x_C|=

1

2

×（-

3

6

m²+

5 3

3

m-

8 3

3

）×6=-

3

2

m²+5

3

m-8

3

；
即S=-

3

2

（m-5）²+

9 3

2

（2＜m＜8）；
∵2＜5＜8，
∴當m=5時，Smax=

9 3

2

；
即△CMN的最大面積為

9 3

2

．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、函數圖象交點坐標及圖形面積的求法等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生數形結合的數學思想方法．