Question

18．如圖，薄壁圓柱形容器甲和均勻正方體乙置于水平地面上，容器甲足夠高、底面積為5×10^-2米²盛有0.1米深的水，正方體乙質(zhì)量為6千克，密度為3×10³千克/米³．求：
（1）容器甲內(nèi)水的質(zhì)量；
（2）正方體乙的體積；
（3）若甲中水、乙同時減少了相同的體積△V，則甲中水、乙剩余的質(zhì)量m_水’
和m_乙’；請通過計(jì)算比較它們的大小關(guān)系及其對應(yīng)的△V的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）知道底面積和水深，利用V=Sh求容器甲內(nèi)水的體積，再利用ρ=$\frac{m}{V}$求容器甲內(nèi)水的質(zhì)量；
（2）知道乙的質(zhì)量、密度，利用ρ=$\frac{m}{V}$求正方體乙的體積；
（3）若甲中水、乙同時減少了相同的體積△V，根據(jù)水、乙的體積，0＜△V＜2×10^-3m³，甲中水剩余的質(zhì)量m_水′=m_水-ρ_水△V，乙剩余的質(zhì)量m_乙′=m_乙-ρ_乙△V，據(jù)此利用作差法求出剩余質(zhì)量相同時減小的體積，進(jìn)而剩余質(zhì)量其他關(guān)系時減小體積的范圍值．

解答 解：
（1）容器甲內(nèi)水的體積：
V_水=Sh=5×10^-2m²×0.1m=5×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得容器甲內(nèi)水的質(zhì)量：
m_水=ρ_水V_水=1×10³kg/m³×5×10^-3m³=5kg；
（2）由ρ=$\frac{m}{V}$得正方體乙的體積：
V_乙=$\frac{{m}_{乙}}{{ρ}_{乙}}$=$\frac{6kg}{3×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=2×10^-3m³；
（3）若甲中水、乙同時減少了相同的體積△V，由前面的計(jì)算可知，乙的體積小于水的體積，則減少體積的范圍為0＜△V＜2×10^-3m³，
甲中水剩余的質(zhì)量m_水′=m_水-ρ_水△V，
乙剩余的質(zhì)量m_乙′=m_乙-ρ_乙△V，
則m_水′-m_乙′=（m_水-ρ_水△V）-（m_乙-ρ_乙△V）
=（5kg-1×10³kg/m³×△V）-（6kg-3×10³kg/m³×△V）
=5kg-1×10³kg/m³×△V-6kg+3×10³kg/m³×△V
=2×10³kg/m³×△V-1kg，
若2×10³kg/m³×△V-1kg=0，即△V=5×10^-4m³；此時m_水′=m_乙′，
若2×10³kg/m³×△V-1kg＞0，即△V＞5×10^-4m³；則m_水′＞m_乙′，
若2×10³kg/m³×△V-1kg＜0，即△V＜5×10^-4m³，則m_水′＜m_乙′．
由此可知，當(dāng)0＜△V＜5×10^-4m³時，m_水′＜m_乙′；
當(dāng)5×10^-4m³＜△V＜2×10^-3m³時，m_水′＞m_乙′；
當(dāng)△V=5×10^-4m³時，m_水′=m_乙′．
答：（1）容器甲內(nèi)水的質(zhì)量為5kg；
（2）正方體乙的體積為2×10^-3m³；
（3）當(dāng)0＜△V＜5×10^-4m³時，m_水′＜m_乙′；當(dāng)5×10^-4m³＜△V＜2×10^-3m³時，m_水′＞m_乙′；當(dāng)△V=5×10^-4m³時，m_水′=m_乙′．

點(diǎn)評 本題考查了密度公式的應(yīng)用，難點(diǎn)在第三問，利用作差法得出剩余質(zhì)量相同時減小的體積是本題的關(guān)鍵．