Question

如圖所示電路中，電源電壓不變，燈的電阻不隨溫度變化，當(dāng)開關(guān)S₁、S₂都閉合時(shí)，燈L正常發(fā)光，此時(shí)，R₁＞R₂，R₁消耗的功率為36瓦．當(dāng)開關(guān)S₁、S₂都斷開時(shí)，保持R₁的電阻不變，燈L的功率為其額定功率的1/4，R₂消耗的功率為2瓦．已知R₁的最大電阻為R₂的10倍．求：
（1）燈L的額定功率．
（2）當(dāng)開關(guān)S₁、S₂都斷開時(shí)，R₁的最大功率．

Answer 1

分析：電源電壓U不變，當(dāng)S₁、S₂都閉合時(shí)，燈泡L與R₁、R₂并聯(lián)，燈泡正常發(fā)光，此時(shí)燈泡的功率就是額定功率，由P=

U2

R

可求表示出R₁消耗的功率；
當(dāng)S₁、S₂都斷開時(shí)，燈泡L與電阻R₁、R₂串聯(lián)；根據(jù)歐姆定律用電阻和電源電壓表示出電路總電流；根據(jù)公式P=I²R可求出R₁的最大功率．

解答：解：（1）當(dāng)開關(guān)都閉合時(shí)，三者是并聯(lián)關(guān)系，設(shè)電源電壓為U（即電燈的額定電壓為U），電燈的額定電流為I，則有

U2

R1

=36W…①
當(dāng)開關(guān)都斷開時(shí)，三者是串聯(lián)關(guān)系，由于此時(shí)燈泡是額定功率的1/4，所以電流是額定電流的一半，電壓是額定電壓的一半，電阻R₁、R₂兩端的電壓之和為

U

2

，所以有關(guān)系式

U

2

=

I

2

（R₁+R₂）…②
且此時(shí)R₂的功率為2W，有關(guān)系式(

I

2

)2R₂=2W…③
由①②③聯(lián)立解方程組，消掉U和I，則可以得到
（2R₁-R₂）（R₁-2R₂）=0．
因?yàn)轭}目給定條件R₁＞R₂，所以有R₁=2R₂．
根據(jù)開關(guān)都斷開可得，R₁、R₂兩端電壓之和為

u

2

，電阻比為2：1，所以電壓比也為2：1，即R₂兩端電壓為

U

6

．因?yàn)榱鬟^的電流為

1

2

I，所以根據(jù)功率為2W，有

U

6

×

1

2

I=2W，解得U×I=24W，故燈泡的額定功率為24W．
（2）因?yàn)殚_關(guān)都斷開時(shí)，燈泡的實(shí)際功率為

1

4

×24W=6W，R₂消耗的功率為2W，所以由P=I²R可得，R_L：R₂=3：1，那么
R₁的功率P₁=(

U

RL+R1+R2

)2R₁=(

U

4R2+R1

)2=

U2

(4R2+R1)2 R1

=

U2

(4R2-R1)2 R1 +16R2

當(dāng)4R₂=R₁時(shí)，R₁的功率最大，因此R₁的最大功率為P₁=

U2

16R2

=

U2

16 3 RL

=

3

16

×24W=4.5W．
答：（1）燈L的額定功率24W．
（2）當(dāng)開關(guān)S₁、S₂都斷開時(shí)，R₁的最大功率為4.5W．

點(diǎn)評(píng)：本題考查電壓、電阻、電流、實(shí)際功率等的計(jì)算，關(guān)鍵是公式及其變形的靈活運(yùn)用，難點(diǎn)是對(duì)電路的正確分析以及利用完全平方求最大值．