Question

10．有兩個用不同材料制成的實心正方體A、B，已知A 重8N，B 重4N；A 的邊長為4cm，B 的邊長為8cm．如圖25 所示，輕質(zhì)彈簧將A、B 表面的中央連接固定．水平放置的圓柱形容器內(nèi)盛有一定量的某種液體，穩(wěn)定后物體A 與容器底部接觸（不密合），B 的上表面與液面平行且與液面相距2cm，此時物體A 對容器底部的壓強(qiáng)為500Pa．已知圓柱形容器的底面積為100cm²；彈簧不受力時長為10cm，在彈性限度內(nèi)其所受力F的大小與彈簧變形量的關(guān)系如圖所示．（彈簧的體積忽略不計，g取10N/kg）求：
（1）物體A 的密度；
（2）物體A、B 所受的浮力之和；
（3）容器內(nèi)所盛液體的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）已知物體的重力，根據(jù)G=mg變形公式求質(zhì)量，已知A的邊長可求體積，根據(jù)密度公式可求密度大�。�
（2）因不知液體的密度，故不能直接根據(jù)阿基米原理求浮力，
物體A 對容器底部的壓強(qiáng)為500Pa，根據(jù)F=pS可求A對容器底的壓力，根據(jù)力的作用相互性，可知底部對A的作用力，
將AB視為一個整體，分析其受力，根據(jù)力的平衡列方程，可求出物體A、B 所受的浮力之和；
（3）根據(jù)阿基米德原理F_浮=ρ_液gV_排，在液體密度相同時，受到浮力與排開液體的體積成正比，在（2）的基礎(chǔ)上可求B受到的浮力；
以B為研究對象分析受力，根據(jù)B受到的浮力與B的重力大小可判斷B受到的彈簧施加力的方向，根據(jù)力的平衡列方程，求出彈簧的彈力大小，由圖象可知彈簧的形變量，求出彈簧現(xiàn)在的長度，從而可求液體的深度；根據(jù)圖示可求容器液體的實際體積；
以AB整體為研究，根據(jù)F_浮=ρ_液gV可排求出液體的密度，
根據(jù)m_液=ρ_液V_液可求出液體的質(zhì)量．

解答 解：（1）已知A重G=8N．A的質(zhì)量：
m=$\frac{G}{g}=\frac{8N}{10N/kg}$=0.8kg=800g；A 的邊長為L=4cm，A的體積V=L³=（4cm）³=64cm³，
物體A 的密度：
ρ=$\frac{m}{V}=\frac{800g}{64c{m}^{3}}$=12.5g/cm³；
（2）彈簧的體積忽略不計，g取10N/kg，可將AB視為一個整體，
兩正方體重力和：
G_AB=8N+4N=12N-------①
整體受豎直向下的重力G_AB、浮力的作用F_浮和底部對其的支持力F_支的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，
故G_AB=F_浮+F_支，所以，F(xiàn)_浮BA=G_AB-F_支=-------②
此時物體A 對容器底部的壓強(qiáng)為p=500Pa，A 對容器底部壓力為：
F_A=pSA=500Pa×（4×10^-2m）²=0.8N，
根據(jù)力的作用相互性，容器底部對A的支持力：
F_支=0.8N--------③，
由①②③得：物體A、B 所受的浮力之和；
故F_浮BA=11.2N--------④；
（3）B 的上表面與液面平行且與液面相距2cm，故B排開液體的體積V_排B=（8cm-2cm）×（8cm）²，
A排開液體的體積V_排A=（4cm）³，
兩物體排開液體的體積之比：
$\frac{{V}_{排B}}{{V}_{排A}}=\frac{6cm×（8cm）^{2}}{（4cm）^{3}}$=$\frac{6}{1}$，
根據(jù)阿基米德原理F_浮=ρ_液gV_排，在液體密度相同時，受到浮力與排開液體的體積成正比，
即$\frac{{F}_{浮B}}{{F}_{浮A}}$=$\frac{6}{1}$--------⑤，
由④⑤得：B受到浮力：
F_浮B=$\frac{6}{1+6}$×11.2N=9.6N，
以B為研究對象，受豎直向下的重力G_B=4N，豎直向上的浮力F_浮B=9.6N、及彈簧施加彈力F_彈的作用，處于靜止?fàn)顟B(tài)，因浮力大于重力作用，彈簧對B施加的彈力方向豎直向下，（根據(jù)力的作用是相互的，B對彈簧的拉力方向豎直向下，即彈簧在水中伸長了），故G_B=F_浮B+F_彈，
故F_彈=F_浮B-G_B=9.6N-4N=5.6N，
由圖象知，此時彈簧伸長為2.8cm；此時彈簧的長為：
h=10cm+2.8cm=12.8cm，
故容器內(nèi)液體的深度：
h′=6cm+12.8cm+4cm=22.8cm，
容器內(nèi)液體的體積：
V_液=h′×S_圓-V_排A-V_排B=22.8cm×100cm²-64cm³-384cm³=1832cm³，
F_浮BA=ρ_液g（V_排B+V_排A），
液體的密度：
ρ_液=$\frac{{F}_{浮BA}}{g（{V}_{排A}+{V}_{排B}）}$=$\frac{11.2N}{10N/kg×（64+384）×1{0}^{-6}{m}^{3}}$=2.5×10³kg/m³，
液體的質(zhì)量：
m_液=ρ_液V_液=2.5×10³kg/m³×1832×10^-6m³=4.58kg．
答：（1）物體A 的密度為12.5g/cm³；
（2）物體A、B 所受的浮力之和為11.2N；
（3）容器內(nèi)所盛液體的質(zhì)量為4.58kg．

點評 本題考查密度、重力公式、阿基米德原理，力的平衡、壓強(qiáng)、壓力公式、力的作用相互性等知識的綜合應(yīng)用，為壓軸題．關(guān)鍵是正確確定研究對象，運用整體思想進(jìn)行受力分析，特別是彈力的方向的判斷彈簧的狀態(tài)，是解題的關(guān)鍵．