Question

5．如圖，薄壁容器的底面積為S，物體A的體積為V，底面積為S₁，輕質(zhì)彈簧的一端固定在容器底部，另一端與A連接．當(dāng)容器中的水深為h時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度恰好等于原長(zhǎng)，物體A有一半的體積浸在水中．下列判斷正確的是（　�。�

• A． 水對(duì)容器底部的壓力F=ρ_水ghS₁
• B． 若將A和輕質(zhì)彈簧取走，容器中的水對(duì)容器底壓強(qiáng)的變化量△p=$\frac{{ρ}_{水}gV}{2（S-{S}_{1}）}$
• C． 若在A上加放重為G_B的物體B，A恰好浸沒(méi)．此時(shí)彈簧對(duì)A的支持力F_N=G_B-ρ_水g$\frac{V}{2}$
• D． 若向容器中緩慢加水直到A恰好浸沒(méi)，注入的水的質(zhì)量△m_水=ρ_水V$\frac{S-{S}_{1}}{2{S}_{1}}$

Answer 1

分析 （1）已知容器中的水深為h，利用p=ρgh可求得水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)，然后利用p=$\frac{F}{S}$可求得水對(duì)容器底部的壓力
（2）若將A和輕質(zhì)彈簧取走，由于物體A有一半的體積浸在水中，據(jù)此即可求出水面下降后減小的體積；利用V=Sh求出水的深度變化量，利用p=ρgh即可得出壓強(qiáng)的變化量；
（3）在A上加放重為G_B的物體B，A恰好浸沒(méi)．此時(shí)彈簧對(duì)A的支持力F_N=G_A+G_B-；
（4）假設(shè)彈簧的長(zhǎng)度不變化物體A的位置不變，根據(jù)需要加入的水的體積求出水的重力；由于加水后彈簧的長(zhǎng)度變長(zhǎng)，物體A會(huì)上升，注入的水的質(zhì)量大于物體A的位置不變需要加入的水的質(zhì)量，由此可判斷．

解答 解：
A、已知容器中的水深為h，則水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)p=ρ_水gh，
由p=$\frac{F}{S}$可得，水對(duì)容器底部的壓力F=pS=ρ_水ghS，故A錯(cuò)誤；
B、由于物體A有一半的體積浸在水中，若將A和輕質(zhì)彈簧取走，則水面下降時(shí)減小的體積△V=$\frac{1}{2}$V，
則水面降低的高度△h=$\frac{△V}{S}$=$\frac{\frac{1}{2}V}{S}$=$\frac{V}{2S}$；
所以水對(duì)容器底壓強(qiáng)的變化量△p=ρ_水g△h=ρ_水g×$\frac{V}{2S}$=$\frac{{ρ}_{水}gV}{2S}$，故B錯(cuò)誤；
C、由于彈簧的長(zhǎng)度恰好等于原長(zhǎng)，說(shuō)明物體漂浮，
由漂浮條件和阿基米德原理可得G_A=F_浮=ρ_水g$\frac{1}{2}$V=$\frac{1}{2}$ρ_水gV；
在A上加放重為G_B的物體B，A恰好浸沒(méi)，以A、B的整體為研究對(duì)象，向上的支持力、向上的浮力和總重力平衡，則F_N+F_浮′=G_A+G_B，
此時(shí)彈簧對(duì)A的支持力F_N=G_A+G_B-F_浮′=$\frac{1}{2}$ρ_水gV+G_B-ρ_水gV=G_B-$\frac{1}{2}$ρ_水gV，故C正確；
D、加水直到A恰好浸沒(méi)，設(shè)彈簧的長(zhǎng)度不變化，如圖

則將A恰好浸沒(méi)需要加入的水的體積為：
△V′=（S-S₁）×$\frac{1}{2}$h_A=（S-S₁）×$\frac{1}{2}$×$\frac{V}{{S}_{1}}$=$\frac{V（S-{S}_{1}）}{2{S}_{1}}$，
則加水的質(zhì)量為△m_水′=ρ_水△V′=ρ_水×$\frac{V（S-{S}_{1}）}{2{S}_{1}}$=ρ_水V$\frac{S-{S}_{1}}{2{S}_{1}}$；
由于向容器中加水后物體會(huì)上浮一些，則彈簧的長(zhǎng)度變長(zhǎng)，
所以注入的水的質(zhì)量△m_水＞△m_水′=ρ_水V$\frac{S-{S}_{1}}{2{S}_{1}}$，故D錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查密度的計(jì)算，阿基米德原理，浮力的計(jì)算，本題難度較大，解題時(shí)一定要認(rèn)真仔細(xì)．