Question

【題目】小明的父親為了解決全家人夏季淋浴問題，想自己動(dòng)手制作一個(gè)太陽能淋浴器。他買來了一個(gè)圓柱形金屬桶，一個(gè)壓力傳感開關(guān)，兩個(gè)圓柱體以及細(xì)線若干。初步設(shè)計(jì)如圖所示其中A、B兩個(gè)圓柱體通過細(xì)繩與壓力傳感開關(guān)相連。已知：圓柱形金屬桶的底面積S1＝0.5m2，高h(yuǎn)1＝50cm；壓力傳感開關(guān)的作用是當(dāng)它受到豎直向下的拉力達(dá)到10N時(shí)閉合，通過控制水泵從進(jìn)水口向桶內(nèi)注水，當(dāng)拉力等于4N時(shí)斷開，水泵停止向桶內(nèi)注水；兩個(gè)圓柱體的底面積

S2＝40cm2，高h(yuǎn)2＝12cm，每個(gè)圓柱體重G＝6N．要求當(dāng)水桶內(nèi)儲水量達(dá)200L時(shí)停止注水，當(dāng)儲水量剩余40L時(shí)開始注水。請你幫助小明的父親在其初步設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，求出（壓力傳感開關(guān)與金屬桶間的距離、細(xì)繩質(zhì)量與體積、計(jì)算儲水量時(shí)圓柱體排水體積忽略不計(jì)）；

（1）當(dāng)壓力傳感開關(guān)與圓柱體A之間細(xì)繩上拉力等于10N時(shí)，進(jìn)水口開始向桶內(nèi)注水，此時(shí)兩圓柱體受到的浮力為多大？

（2）當(dāng)水泵剛好停止向桶內(nèi)注水時(shí)，圓柱A浸入水中的深度為多大？

（3）滿足上述要求的圓柱體A、B之間細(xì)線的長度？

Answer 1

【答案】（1）2N；（2）0.08m；（3）17cm。

【解析】

（1）根據(jù)二力平衡條件可以求出當(dāng)停止注水和開始注水時(shí)，AB受到的浮力；

（2）根據(jù)公式F浮＝ρgV排求出AB排開水的體積，進(jìn)一步求出AB浸入水中的深度，然后可求圓柱A浸入水中的深度；

（3）利用阿基米德原理求圓柱體排開水的體積，

進(jìn)而求出圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度，此時(shí)桶內(nèi)水面處于右圖位置2處，桶內(nèi)水的體積V3＝40L，

根據(jù)h3＝得出水面2與桶底3之間的深度，可求圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h7、圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h9；

壓力傳感開關(guān)受到豎直向下的拉力達(dá)到4N時(shí)閉合，通過控制水泵從進(jìn)水口向桶內(nèi)注水。由于壓力傳感開關(guān)受到豎直向下的拉力等于圓柱體重減去受到的浮力，可求圓柱體受到的浮力，利用阿基米德原理求圓柱體排開水的體積，

進(jìn)而求出圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度、圓柱體露出水面深度為圓柱體頂端8與水面1之間的長度h5，圓柱體A浸入水中的深度為4到5間的深度h8，此時(shí)桶內(nèi)水面處于如圖的位置1處，桶內(nèi)水的容積為V4＝200L，根據(jù)h4＝得出水面1與桶底3之間的深度，進(jìn)而求出圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h7、圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h9，水面1到桶底6之間的長度h6，

最后求出，圓柱體A頂端到桶底的距離就是拴在圓柱體A上繩子長度L1＝h6﹣h5，也就是圖中5與9之間的高度；

圓柱體A、B之間的繩子長度L2＝h4﹣h浸2﹣h7。

（1）當(dāng)開始注水時(shí)，AB受到的浮力F浮1＝GA+GB﹣F1＝6N+6N﹣10N＝2N；

（2）停止注水時(shí)，AB受到的浮力為F浮2＝GA+GB﹣F2＝6N+6N﹣4N＝8N；

由F浮＝ρgV排可得，

此時(shí)排開水的體積為V排2＝=＝8×10﹣4m3；

浸入水中的深度為h＝＝=0.2m；

所以A浸入的深度為hA＝h﹣h2＝0.2m﹣0.12m＝0.08m；

（3）圓柱體排開水的體積：V排1＝=＝2×10﹣4m3＝200cm3，

圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度：

h浸1＝＝＝0.05m＝5cm，

此時(shí)桶內(nèi)水面處于右圖位置2處，桶內(nèi)水的體積V3＝40L，

根據(jù)h3＝＝＝0.08m＝8cm得出水面2與桶底3之間的深度為8cm，

圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h7＝h3﹣h浸1＝8cm﹣5cm＝3cm，

圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h9＝h2﹣h浸1＝12cm﹣5cm＝7cm；

圓柱體排開水的體積：V排2＝=＝8×10﹣4m3＝800cm3，

圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度：

h浸2＝＝＝20cm，

圓柱體露出水面深度為圓柱體頂端8與水面1之間的長度h5＝2h2﹣h浸2＝2×12cm﹣20cm＝4cm，圓柱體A浸入水中的深度為4到5間的深度h8＝h2﹣h5＝12cm﹣4cm＝8cm，此時(shí)桶內(nèi)水面處于如圖的位置1處，桶內(nèi)水的容積為V4＝200L，根據(jù)h4＝＝＝0.4m＝40cm，

得出水面1與桶底3之間的深度為40cm，

圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h7＝h3﹣h浸1＝8cm﹣5cm＝3cm，

圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h9＝h2﹣h浸1＝12cm﹣5cm＝7cm；

水面1到桶底6之間的長度h6＝h1﹣h4＝50cm﹣40cm＝10cm，圓柱體A頂端到桶底的距離就是拴在圓柱體A上繩子長度：

L1＝h6﹣h5＝10cm﹣4cm＝6cm，也就是圖中5與9之間的高度；

圓柱體A、B之間的繩子長度：L2＝h4﹣h浸2﹣h7＝40cm﹣20cm﹣3cm＝17cm。