Question

13．如圖（a）所示，放在水平面上的實心圓柱體A、B由不同材料制成，A的密度是B的一半．它們的高度均為H．A的質量是B的三分之一．如圖（b）所示，若在A、B上沿水平方向截去某一相同的厚度h，并將所截去的部分均疊放至對方剩余部分上表面的中央．當截去厚度h時，恰能使疊放后的物體A′、B′對地面的壓強相等．求：h與H之比．（可用分式表示）

Answer 1

分析 根據(jù)實心圓柱體A的密度是B的一半，從而可知密度之比，A的質量是B的三分之一．它們的高度均為H．利用其體積可求出其底面積之比，然后根據(jù)在甲、乙上沿水平方向截去某一相同的厚度h，并將所截去的部分均疊放至對方剩余部分上表面的中央．恰能使疊放后的物體A′、B′對地面的壓強相等．列出等式解答．

解答 解：由實心圓柱體A的密度是B的一半，則密度之比為ρ_A：ρ_B=1：2，或ρ_B=2ρ_A，
由于A的質量是B的三分之一，則質量之比為m_A：m_B=1：3，
它們的高度均為H．則根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$和V=Sh得S=$\frac{V}{h}$=$\frac{\frac{m}{ρ}}{h}$=$\frac{m}{ρh}$，
則$\frac{{S}_{A}}{{S}_{B}}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}H}$：$\frac{{m}_{B}}{{ρ}_{B}H}$=$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$×$\frac{{ρ}_{B}}{{ρ}_{A}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{1}$=$\frac{2}{3}$，
當截去厚度h時，疊放后的物體A′、B′對地面的壓力分別為：
F_A′=G_A-△G_A+△G_B=ρ_AgS_AH-ρ_AgS_Ah+ρ_BgS_Bh；
F_B′=G_B-△G_B+△G_A=ρ_BgS_BH-ρ_BgS_Bh+ρ_AgS_Ah；
由于疊放后的物體A′、B′對地面的壓強相等，則p_A′=p_B′，
即：$\frac{{F}_{A}′}{{S}_{A}}$=$\frac{{F}_{B}′}{{S}_{B}}$，
所以，$\frac{{ρ}_{A}{gS}_{A}H-{ρ}_{A}{gS}_{A}h+{ρ}_{B}{gS}_{B}h}{{S}_{A}}$=$\frac{{ρ}_{B}{gS}_{B}H-{ρ}_{B}{gS}_{B}h+{ρ}_{A}{gS}_{A}h}{{S}_{B}}$，
整理得：ρ_AH-ρ_Ah+ρ_Bh×$\frac{{S}_{B}}{{S}_{A}}$=ρ_BH-ρ_Bh+ρ_Ah×$\frac{{S}_{A}}{{S}_{B}}$；
即：ρ_AH-ρ_Ah+2ρ_Ah×$\frac{3}{2}$=2ρ_AH-2ρ_Ah+ρ_Ah×$\frac{2}{3}$；
解得：$\frac{h}{H}$=$\frac{3}{10}$．
答：h與H之比為3：10．

點評 本題考查了壓力，壓強的計算，甲乙上沿水平方向分別截去相同的厚度h后．甲乙剩余部分對水平地面的接觸面積不變，這是此題的關鍵，在解題時要記住相關公式，靈活運用密度公式解決問題，此題的難點在于壓強等式的列出，解答也要非常認真，仔細，否則后導致出錯．