Question

【題目】有一根玻璃棒，材料折射率為，橫截面為等邊三角形.在一張白紙上畫一組平行直線，如圖所示，將棒置于平行線上，棒軸與平行線夾角為.如果人在玻璃棒上方較遠(yuǎn)處垂直紙面觀察，試討論：當(dāng)取哪些不同的值時(shí)，人通過玻璃棒將會(huì)看到什么樣的圖像？畫出這些情況下人看到的圖像的形狀.

注：除全反射外不考慮其他反射，分析過程不做要求，給出的取值范圍和對(duì)應(yīng)的圖像形狀即可.

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，圖像如圖甲所示（2）時(shí)，圖像如圖乙所示（3）時(shí)，圖像如圖丙所示。

【解析】

因?yàn)槿嗽陔x玻璃棒較遠(yuǎn)處垂直紙面觀察，所以射出玻璃棒的光只有垂直于紙面才能被人觀察到.考察這些光線在玻璃棒中的折射和全反射情況，由于對(duì)稱性只考慮從一側(cè)（右側(cè)）射出的光

當(dāng)折射率較小時(shí)，光路如圖1所示，所有從右側(cè)射出的光都是由底邊直接射過來的，由圖可知，實(shí)際看到點(diǎn)的位置比實(shí)際位置更加靠右（棱鏡底邊），比如從、、點(diǎn)射出的光經(jīng)棱鏡折射后，實(shí)際成像是在、、點(diǎn).據(jù)此分析，可畫出此情況下人觀察到的圖像，如圖2，圖中虛線為被玻璃棒擋住的部分，不一定要畫出，

當(dāng)玻璃的折射率比較大時(shí)，垂直紙面射出的光不再全是由底面直接折射而出，而會(huì)有一部分光線是先通過左側(cè)全反射后再由右側(cè)折射而出，如圖4所示.而作為臨界情況，光路如圖3所示，容易求得圖3光路達(dá)成的條件是.所以可以確定圖1光路和圖2圖像形成的條件為。

現(xiàn)在分析時(shí)的情況（時(shí)容易驗(yàn)證左側(cè)一定會(huì)發(fā)生全反射）.由底面射出直接折射而出的光線，其視覺效果應(yīng)與圖2一樣；而通過左側(cè)全反射再由右側(cè)折射出的光，其形成的圖線走向應(yīng)與圖2相反.所以可畫出圖；像如圖5所示，虛線為輔助線，不必一定畫出.；當(dāng)折射率進(jìn)一步增大時(shí)，如圖4所示，角不斷減小，而角不斷增加，角為從紙面經(jīng)空氣進(jìn)入玻璃的折射角，根據(jù)折射規(guī)律，角最多為，所以當(dāng)足夠大時(shí)，不會(huì)再有光線能夠從底面進(jìn)入玻璃棒直接從右側(cè)射出且被人看到.現(xiàn)在求此情況出現(xiàn)的臨界條件.

由，，可得.

所以圖5所示的圖像應(yīng)為時(shí)的情況.當(dāng)時(shí)，圖4中直接折射而出的那些光路不再存在，圖像應(yīng)為圖6所示，

幾何光學(xué)無疑要求答題都具備較強(qiáng)的幾何駕馭能力，包含著空間問題的駕馭能力.可以說，本題是鑒別學(xué)生空間問題處理能力與幾何能力強(qiáng)弱的典型試題.它除了要求答題者能對(duì)“人在玻璃棒上方較遠(yuǎn)處垂直紙面觀察”的描述還原成出射光線垂直于紙面外，答題者還必須對(duì)形成這樣的出射光線的光路的走向，實(shí)際看到影像的平面特征作出正確的分析判斷，答題者如無極強(qiáng)的空間想象力與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，則無法對(duì)其光路作出正確的描述與呈現(xiàn).同時(shí)，棱鏡不同的折射率又直接影響著全反射的發(fā)生與出射的光路，從而影響到圖像呈現(xiàn)的平面形態(tài)，而這又要求答題者具備極為嚴(yán)謹(jǐn)而又全面的思維及處理光的折射計(jì)算的能力，所以，本題是一道綜合能力很強(qiáng)，難度極大的試題.本題還存在著一種變式，即將本題中的三棱玻璃棒換成圓柱形玻璃棒，再來討論相關(guān)問題，讀者不妨作相應(yīng)的延伸與討論。