Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+a,a∈R.

（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)x≥1時(shí)，恒有g(x)=(x+1)f(x)﹣lnx≤0恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，求出對應(yīng)情況下的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）求出的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)行二次求導(dǎo)，通過討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意即可進(jìn)行求解.

（1）函數(shù)的定義域(0,+∞)，，

(i)當(dāng)時(shí)，恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(ii)當(dāng)a>0時(shí)，由可得，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

由可得，x，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.

故當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.

（2）當(dāng)x≥1時(shí)，g(x)=(x+1)(lnx﹣ax+a)﹣lnx=xlnx﹣ax2+a，

=lnx+1﹣2ax，

令h(x)=lnx+1﹣2ax，

則.

(i)當(dāng)a≤0時(shí)，>0恒成立，h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.

h(x)≥h（1）=1﹣2a>0，

即0，故g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)≥g（1）=0，不合題意；

(ii)當(dāng)0<a時(shí)，h(x)在[1,]上單調(diào)遞增，

=1﹣2a>0，此時(shí)g(x)在[1,]上單調(diào)遞增，

所以g()>g（1）=0，不合題意；

(iii)當(dāng)a時(shí)，，h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，

所以，故≤0，

所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，

所以g(x)≤g（1）=0，所以g(x)≤0恒成立.

綜上所述，的取值范圍為.