Question

已知f（x）=(

a2+1

2

)ln(1+x2)+ax．
（1）a=2時，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＜0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）證明：（1+

1

24

）（1+

1

34

）…(1+

1

n4

)＜e（n∈N^*，n≥2，其中無理數(shù)e=2.71828L）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時，利用導(dǎo)數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷函數(shù)的極值．（2）當(dāng)a＜0時，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）利用（2）的結(jié)論，通過構(gòu)造函數(shù)，利用方縮法去證明不等式．

解答：解：f′(x)=

(a2+1)x

1+x2

+a=

ax2+(a2+1)x+a

1+x2

=

(ax+1)(x+a)

1+x2

，
（1）當(dāng)a=2時，f′(x)=

(2x+1)(x+2)

1+x2

．由f'（x）＞0，解得x＞-

1

2

或x＜-2，此時函數(shù)遞增．
由f'（x）＜0，解得-2＜x＜-

1

2

，此時函數(shù)遞減．所以當(dāng)x=-2時，函數(shù)取得極大值f(-2)=

5

2

ln5-4，
當(dāng)x=-

1

2

時，函數(shù)取得極小值f(-

1

2

)=

5

2

ln5-1．
（2）當(dāng)-1＜a＜0時，由f'（x）＞0，解得-a＜x＜-

1

a

，此時函數(shù)遞增．由f'（x）＜0，解得x＞-

1

a

或x＜-a，此時函數(shù)遞減．
當(dāng)a=-1時，f'（x）≤0恒成立，此時函數(shù)在R上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＜-1時，由f'（x）＞0，解得-

1

a

＜x＜-a，此時函數(shù)遞增．由f'（x）＜0，解得x＜-

1

a

或x＞-a，此時函數(shù)遞減．
綜上：當(dāng)a=-1時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為R．
     當(dāng)-1＜a＜0時，增區(qū)間為(-a，-

1

a

)，單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-a）和(-

1

a

，+∞)．
      當(dāng)a＜-1時，增區(qū)間為(-

1

a

，-a)，單調(diào)減區(qū)間為（-a，+∞）和(-∞，-

1

a

)．
（3）由（2）知當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．當(dāng)x＞0時，f（x）＜f（0），所以ln（1+x²）-x＜0，即ln（1+x²）＜x．
所以ln（1+

1

24

）（1+

1

34

）…(1+

1

n4

)=ln（1+

1

24

）+ln（1+

1

34

）+…+ln(1+

1

n4

)＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n

＜1，
所以（1+

1

24

）（1+

1

34

）…(1+

1

n4

)＜e．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，以及利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，在證明不等式的過程中使用了方縮放證明不等式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．