Question

9．不等式2x²-a$\sqrt{{x}^{2}+1}$+3＞0對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，23）．

Answer 1

分析 需要分類討論，當(dāng)a≤0時(shí)對(duì)x∈R恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，巧設(shè)換元，分離參數(shù)，得到a+1＜4t+$\frac{9}{t}$+12，根據(jù)基本不等式即可求出a的范圍

解答 解：∵2x²-a$\sqrt{{x}^{2}+1}$+3＞0對(duì)x∈R恒成立，
∴2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，顯然恒成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，2x²+3＞a$\sqrt{{x}^{2}+1}$，可化為（2x²+3）²＞ax²+a，
即為4x⁴+（12-a）x²+9-a＞0恒成立
設(shè)x²=t，
即為4t²+（12-a）t+9-a＞0對(duì)于t≥0恒成立，即（1+a）t＜4t²+12t+9
當(dāng)t=0時(shí)，9-a＞0，即0＜a＜9，
當(dāng)t＞0
∴a+1＜4t+$\frac{9}{t}$+12≥2$\sqrt{4t•\frac{9}{t}}$+12=24在（0，+∞）恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴0＜a＜23，
綜上所述a的取值范圍（-∞，23），
故答案為：（-∞，23）

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是更換主元，利用基本不等式求出最值，此題是中檔題．