Question

已知函數(shù)若存在函數(shù)使得恒成立，則稱是的一個(gè)“下界函數(shù)”.
（I） 如果函數(shù)為實(shí)數(shù)為的一個(gè)“下界函數(shù)”，求的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù) 試問(wèn)函數(shù)是否存在零點(diǎn)，若存在，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（I） （Ⅱ）函數(shù)不存在零點(diǎn).

試題分析：（I）解法一：由 得          1分
記則                   2分
當(dāng)時(shí)， 所以在上是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)， 所以在上是增函數(shù)，     3分
因此 即                 5分
解法二：由 得 
設(shè)則                1分
（1）若由知
在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，          2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012925296555.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，所以解得      3分
（2）若當(dāng)且時(shí)，
此與恒成立矛盾，故舍去；               4分
綜上得                            5分
（Ⅱ）解法一：函數(shù)
由（I）知即                6分
                 7分
設(shè)函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
故
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012925733477.png" style="vertical-align:middle;" /> 所以 即            8分
（2）當(dāng)時(shí)，         9分
綜上知 所以函數(shù)不存在零點(diǎn).              10分
解法二：前同解法一，      7分
記 則
所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
因此                    9分
故 所以函數(shù)不存在零點(diǎn).              10分
解法三：前同解法一， 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012925733477.png" style="vertical-align:middle;" />故         7分
設(shè)函數(shù)
因此即                    9分
故 所以函數(shù)不存在零點(diǎn).                10分
解法四：前同解法一，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012925733477.png" style="vertical-align:middle;" />故          7分
從原點(diǎn)作曲線的切線設(shè)切點(diǎn)為，
那么把點(diǎn)代入得所以
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即         9分
故 所以函數(shù)不存在零點(diǎn).               10分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。涉及比較大小問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的單調(diào)性及最值。涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，研究了函數(shù)的單調(diào)性及在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)。