Question

11．已知函數f（x）=x²-2ax+a+2，
（1）記f（sinx），x∈R的最大值為M（a），求M（a）；
（2）若g（x）=f（x）+|x²-1|在區(qū)間（0，3）內有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（sinx）的解析式，通過討論a的范圍，求出M（a）即可；
（2）求出g（x）的分段函數的形式，首先討論a是否是0，在a≠0時，討論函數的零點的位置，從而確定實數a所滿足的條件，從而求其范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²-2ax+a+2，
f（sinx）=（sinx）²-2asinx+a+2=（sinx-a）²+a²+a+2，
a≥0時，M（a）=（-1-a）²+a²+a+2=2a²+3a+3，
a＜0時，M（a）=（1-a）²+a²+a+2=2a²-a+3；
（2）g（x）=x²-2ax+a+2+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-2ax+a+1，|x|≥1}\\{-2ax+a+3，|x|＜1}\end{array}\right.$，
若a=0，則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}+1，|x|≥1}\\{3，|x|＜1}\end{array}\right.$，無零點；
若a≠0，則y=-2ax+a+3在（0，1）單調，
∴其在（0，1）內至多有一個零點．
①若0＜x₁＜1≤x₂＜3，
則$\left\{\begin{array}{l}{3（-a+3）＜0}\\{（3-a）（19-5a）≤0}\end{array}\right.$，
解得，3＜a≤$\frac{19}{5}$，
經檢驗，a=$\frac{19}{5}$時不成立，
②若1≤x₁＜x₂＜3，
由$\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}-8（a+1）＞0}\\{1＜\frac{a}{2}＜3}\\{3-a≥0}\\{19-5a＞0}\end{array}\right.$，
解得，1+$\sqrt{3}$＜a≤3，
綜上所述，實數a的取值范圍是（1+$\sqrt{3}$，$\frac{19}{5}$）．

點評 本題考查了函數的零點的問題，數學討論的思想，討論比較復雜，要注意細心，屬于難題．