Question

已知函數f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數．
（1）當a=1時，求函數f（x）單調區(qū)間．
（2）求函數f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數的導函數，并分析導函數的符號，進而判斷出函數f（x）單調區(qū)間．
（2）根據函數的解析式，求出函數的導函數，分a≥1，0＜a＜

1

2

，

1

2

＜a＜1三種情況，分別討論f′（x）的符號，分析出函數f（x）的單調性，進而可求出函數f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

解答：解：∵函數f(x)=lnx+

1-x

ax

，
∴f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）…（2分）
（1）當a=1時，f′（x）=

x-1

x2

，
當x＞1時，f′（x）＞0；當0＜x＜1時，f′（x）＜0；　　　…（4分）
∴f（x）的單調增區(qū)間為[1，+∞），單調減區(qū)間為（0，1）．　　　…（6分）
（2）當a≥1時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[1，2]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（1）=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（8分）
當0＜a＜

1

2

時，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[1，2]上單調遞減，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …（10分）
當

1

2

＜a＜1時，由f′（x）＞0得

1

a

＜x≤2，由f′（x）＜0得1≤x＜

1

a

．
∴f（x）在[1，

1

a

]上單調遞減，在[

1

a

，2]上單調遞增．
∴f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

．                                             …（14分）

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用導數求函數在閉區(qū)間上函數的最值，熟練掌握導數法在確定函數的單調性和函數的最值時的方法和步驟是解答的關鍵．