已知f(x)=a1x+a2x2+…+anxn_  且a1，a2…an構成一個數(shù)列，又f（1）=n2
①求數(shù)列{an}的通項公式
②證明f(
1
3
)＜1．
考點：數(shù)列與不等式的綜合
專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析：①由f（1）=n2，可得Sn=n2，再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{an}的通項公式
②利用錯位相減法求和，即可證明結論．
解答： ①解：∵f（1）=n2，
∴Sn=n2，
n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1，
n=1時，結論也成立，
∴通項an=2n-1 (n∈N*)
②證明：f(
1
3
)=1•
1
3
+3•
1
9
+5•
1
27
+…+(2n-3)•
1
3n-1
+(2n-1)•
1
3n

則有
1
3
f(
1
3
)=1•
1
9
+3•
1
27
+5•
1
81
+…+(2n-3)•
1
3n
+(2n-1)
1
3n+1

兩式相減得
2
3
f(
1
3
)=1•
1
3
+2•
1
9
+2•
1
27
+…+2•
1
3n
-(2n-1)•
1
3n+1
∴f(
1
3
)=
1
2
+
1
3
+
1
9
+
1
27
+…+
1
3n-1
-(2n-1)•
1
2•3n
=
1
2
+
1
3
[1-(
1
3
)n-1]
1-
1
3
-(2n-1)•
1
2•3n
=
1
2
+
1
2
-
3
2•3n
-
2n-1
2•3n
=1-
n+1
3n

∵3n=（1+2）n＞1+2n＞1+n（n∈N*），∴0＜
n+1
3n
＜1，
∴1-
n+1
3n
＜1，即f(
1
3
)＜1．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查錯位相減法，正確求出數(shù)列的通項是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過拋物線y2=16x的焦點，且與雙曲線x2-y2=2有相同的焦點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設點M（m，0）在橢圓E的長軸上，點P是橢圓上任意一點，當|
MP
|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有一杯糖水，重b克，其中含糖a克，現(xiàn)在向糖水中再加m克糖，此時糖水變得更甜了．（其中a，b，m∈R+）．
（1）請從上面事例中提煉出一個不等式（要求：①使用題目中字母；②標明字母應滿足條件）
（2）利用你學過的證明方法對提煉出的不等式進行證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：Sn2-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且滿足Tn=3bn-2．
（1）求an和bn；
（2）求數(shù)列{an•bn}的前n項之和An．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，
2Sn
n
=an+1-
1
3
n2-n-
2
3
，n∈N*．
（Ⅰ） 求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ） 證明：對一切正整數(shù)n，有
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
7
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足
OC
=
1
3
OA
+
2
3
OB
．
（1）求證：A、B、C三點共線；
（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，
π
2
]，f（x）=
OA
•
OC
+（2m+
1
3
）|
AB
|+m2的最小值為5，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足a2=5，a5+a6+a7=39．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=
4
(an-1)(an+1)
 （n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網店經營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關信息如下表所示：
銷售量P（件）p=50-x
銷售單價q（元/件）當1≤x≤20時，q=30+
1
2
x；
當21≤x≤40時，q=20+
525
x
（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？
（2）求該網店第x天獲得的利潤y關于x的函數(shù)關系式；
（3）這40天中該網店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用數(shù)字1，2，3，4可以排成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)，共有
 
個．

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