Question

點M到點F（2，0）的距離比它到直線x=-3的距離小1．
①求M的軌跡方程；
②若過F（2，0）點傾斜角為45°的直線與M的軌跡交于A、B兩點，求△ABO面積．

Answer 1

分析：①由題意得點M到點F（2，0）的距離等于M到直線x=-2的距離，根據(jù)拋物線定義，可得點M的軌跡是以F為焦點、直線x=-2為準線的拋物線，求出拋物線的方程為y²=8x，即可得到點M的軌跡方程；
②算出直線AB的方程為y=x-2，與拋物線方程聯(lián)解，消去y可得y²-8y-16=0．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系算出|y₁-y₂|=8

2

，再根據(jù)三角形面積公式加以計算，可得△AB0的面積．

解答：解：①設(shè)M（x，y），
∵點M到點F（2，0）的距離比它到直線x=-3的距離小1，
∴點M到點F（2，0）的距離等于M到直線x=-2的距離
由拋物線定義得：點M的軌跡是以F為焦點、直線x=-2為準線的拋物線．
設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），可得

p

2

=2，p=4，
∴拋物線的方程為y²=8x，即為點M的軌跡方程；
②∵直線的傾斜角為45°，
∴直線的斜率k=tan45°=1，
可得直線的方程為y=1×（x-2），即y=x-2．
由

y=x-2 y2=8x

消去x，整理得y²-8y-16=0．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8，y₁y₂=-16，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y 1y2

=

64-4×(-16)

=8

2

，
因此，△AB0的面積S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

2

×2×8

2

=8

2

．

點評：本題求動點M的軌跡方程，并依此求滿足條件的△AB0的面積．著重考查了拋物線的定義與標準方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．