Question

在平面直角坐標系中,點P沿x軸正方向,點Q沿y軸正方向,點R沿斜率為1的直線向上分別以一定的速度a、b、c運動,且P、Q、R恒在一條直線上,在某一時刻P、Q、R的位置分別為(4,0)、(0,2)、(2,1),試探討:當點P、Q、R運動時,a、b、c的比值是否為定值?并加以說明.

Answer 1

思路解析：本題考查對直線方程、直線的斜率的理解,及直線的圖形的應用,本題要理解在運動過程中各點位置的變化情況.

解：設P₀(4,0)、Q₀(0,2)、R₀(2,1)且將P、Q、R分別看作由P₀、Q₀、R₀同時出發(fā),分別沿x軸正方向,y軸正方向,斜率為1的直線向上方向勻速運動,經過時間t后(t＞0),它們的坐標為P(4+at,0)、Q(0,2+bt)、R(2+,1+),則PQ的方程為=1.

∵P、Q、R恒在一條直線上,將R代入上式,即［bc+ac-ab］t²+［bc-(a+2b)］t=0對一切t＞0恒成立.

∴

消去c得a²-3ab+2b²=0.

得a=b或a=2b.

當a=b時,c=b,此時a∶b∶c=2∶2∶;

當a=2b時,c=b,此時a∶b∶c=6∶3∶2.