Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB滿足：以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：由已知得到圓C：（x-1）²+（y+2）²=9，直線l的斜率為1，我們?cè)O(shè)出直線的斜截式方程，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理我們可以根據(jù)以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，構(gòu)造關(guān)于b的方程，解方程即可求出答案．

解答： 解：設(shè)直線l的方程為：y=x+b，且直線l被圓C截得的弦AB的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立：

y=x+b x2+y2-2x+4y-4=0

得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=0，…4分
由題意得：△=（2+2b）²-8（b²+4b-4）＞0
得：-3-3

2

＜b＜-3+3

2

…6分
由韋達(dá)定理可得：x₁+x₂=-b-1，x₁x₂=

b2+4b-4

2

，…8分
又以AB為直徑的圓過原點(diǎn)．∴x₁x₂+y₁y₂=0
化得：2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
化簡(jiǎn)b²+3b-4=0
∴b=-4或b=1合題意…12分
所求的直線方程為：x-y-4=0和x-y+1=0…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，其中本題所使用的“設(shè)而不求”+“聯(lián)立方程”+“韋達(dá)定理”的方法是解答直線與圓錐曲線（包括圓）的關(guān)系時(shí)最常用的方法．