Question

5．不論a取何值，函數(shù)y=log_a（x+3）-1恒過定點A．
（1）求點A的坐標；
（2）若點A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，求$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）令x+3=1求出x和y的值，即可求出函數(shù)y=log_a（x+3）-1恒過定點A的坐標；
（2）把A的坐標代入直線mx+ny+1=0，化簡后利用“1”的代換和基本不等式求出$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值．

解答 解：令x+3=1得，x=-2，則y=log_a1-1=-1，
∴函數(shù)y=log_a（x+3）-1恒過定點A坐標是（-2，-1）；
（2）∵點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，則2m+n=1，
又m＞0，n＞0，則$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=（2m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）
=4+$\frac{4m}{n}+\frac{n}{m}$≥4+2$\sqrt{\frac{4m}{n}•\frac{n}{m}}$=8，當且僅當$\frac{4m}{n}=\frac{n}{m}$時取等號．
∴$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值是8．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象過定點問題，以及基本不等式的應用，屬于基礎題．