Question

3．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．
（1）證明：平面ACF⊥平面BEFD
（2）若二面角A-EF-C是二面角，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥BD，BE⊥AC，從而AC⊥平面BEFD，由此能證明平面ACF⊥平面BEFD．
（2）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，分別以O(shè)A，OB為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AE與平面ABCD所成角的正切值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，
∴AC⊥平面BEFD，
∵AC?平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD．
解：（2）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，由（1）得AC⊥BD，
分別以O(shè)A，OB為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，
∵DF∥BE，∴DF⊥BD，
∴BD²=EF²-（DF-BE）²=8，∴BD=2$\sqrt{2}$．
設(shè)OA=a，（a＞0），
由題設(shè)得A（a，0，0），C（-a，0，0），E（0，$\sqrt{2}，1$），F(xiàn)（0，-$\sqrt{2}$，2），
設(shè)m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=2\sqrt{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=ax-\sqrt{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取z=2$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{3\sqrt{2}}{a}，1，2\sqrt{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$是平面CEF的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=2\sqrt{2}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=a{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${z}_{1}=2\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{3\sqrt{2}}{a}$，1，2$\sqrt{2}$），
∵二面角A-EF-C是直二面角，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{18}{{a}^{2}}$+9=0，解得a=$\sqrt{2}$，
∵BE⊥平面ABCD，
∴∠BAE是直線AE與平面ABCD所成的角，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，∴tan$∠BAE=\frac{BE}{AB}=\frac{1}{2}$．
∴直線AE與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．