Question

已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），并且滿足下列條件：
①f（2）=1； ②f（x，y）=f（x）+f（y）； ③當x＞1時，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（1），f（

1

4

）的值；
（Ⅱ） 證明f（x）在（0，+∞）是增函數；
（Ⅲ）解不等式f（2）+f（4-8x）＞3．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）在②中令x=y=1，可由f（x•y）=f（x）+f（y），求出f（1）的值；在②中令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

），故f（

1

x

）=-f（x），
用此結論可求f（

1

4

）；
（2）任取x₁，x₂，設x₂＞x₁＞0，先證明f（

x2

x1

）＞0，再利用單調性的定義證明函數為增函數；
（3）由f（2）=1，可得3=f（8），結合（2）中函數的單調性，可將不等式轉化為不等式組，解得x的取值范圍．

解答： 解：（1）在②中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），故 f（1）=0，
在②中令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

），∴0=f（x）+f（

1

x

），∴f（

1

x

）=-f（x），
∴f（

1

4

）=-f（4）=-f（2×2）=-[f（2）+f（2）]=-2f（2）=-2，
（2）函數f（x）在（0，+∞）上的單調遞增，理由如下：
任取x₁，x₂，設x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1
∵當x＞1時，f（x）＞0，∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數，
（3）由f（2）=1，得3f（2）=3=f（2）+f（2）+f（2）=f（4）+f（2）=f（8），
∴不等式f（2）+f（4-8x）＞3可化為f（2（4-8x））＞f（8），
∴

4-8x＞0 2(4-8x)＞8

解得x＜0，
∴不等式的解集為{x|x＜0}．

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，其中熟練掌握抽象函數的解答方法是解答的關鍵．