Question

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=3-

a

x

（a為常數(shù)）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）在區(qū)間[1，2]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=1時(shí)，表示出φ（x），求導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)解不等式φ′（x）＜0，φ′（x）＞0即可；
（2）方程e^2f（x）=g（x）可化為a=-x³+3x，令h（x）=-x³+3x，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h（x）的值域問題；

解答：解：（1）a=1時(shí)，φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-3+

1

x

（x＞0），
φ′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
所以φ（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）e^2f（x）=g（x），即e^2lnx=3-

a

x

，x²=3-

a

x

，則a=-x³+3x，
令h（x）=-x³+3x，則h′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，h′（x）＜0，故h（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
所以h（2）≤h（x）≤h（1），即-2≤h（x）≤2，
所以要使方程e^2f（x）=g（x）在區(qū)間[1，2]上有解，須有a∈[-2，2]．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)最值的求解，準(zhǔn)確求導(dǎo)，熟練計(jì)算是判斷單調(diào)性的基礎(chǔ)，本題（2）問的解決關(guān)鍵是把方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題．