【題目】如圖:已知拋物線 C1:y2=2px (p>0),直線 l 與拋物線 C 相交于 A、B 兩點(diǎn),且當(dāng)傾斜角為 60°的直線 l 經(jīng)過拋物線 C1 的焦點(diǎn) F 時(shí),有|AB|= .
(Ⅰ)求拋物線 C 的方程;
(Ⅱ)已知圓 C2:(x﹣1)2+y2= ,是否存在傾斜角不為 90°的直線 l,使得線段 AB 被圓 C2 截成三等分?若存在,求出直線 l 的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】【解答】(I)當(dāng)直線l的傾斜角為60°時(shí),直線l的方程為y= (x﹣ ),
聯(lián)立方程組 ,消元得3x2﹣5px+ =0,
∴|AB|= +p= ,解得p= ,
∴拋物線C的方程為y2= .
(II)假設(shè)存在直線l,使得AB被圓C2三等分,設(shè)直線l與圓C2的交點(diǎn)為C,D,
設(shè)直線l的方程為x=my+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立方程組 ,得4y2﹣my﹣b=0,
∴y1+y2= ,y1y2=﹣ ,∴x1+x2=m(y1+y2)+2b= +2b,
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M( +b, ),
又圓C2的圓心為C2(1,0),∴k = ,
即m2+8b﹣7=0,∴b= .
又|AB|= = .
∵圓心C2(1,0)到直線l的距離d= ,圓C2的半徑為 ,
∴|CD|=2 = ,
又|AB|= = .C,D為AB的三等分點(diǎn),
∴|AB|=3|CD|,
∴ = ,解得m=± ,∴b= .
∴直線l的方程為y=± x+ .
【解析】(I)聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的性質(zhì)列方程解出p;
(II)設(shè)直線l的方程為x=my+b,與拋物線方程聯(lián)立,求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo),利用垂徑定理列方程求出m,b的關(guān)系。利用弦長公式計(jì)算求出|AB|,|CD|,根據(jù)|AB|=3|CD|解得m的值和直線l的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線 在 的上方,且曲線 上的任意一點(diǎn)到點(diǎn) 的距離比到直線 的距離都小1.
(Ⅰ)求曲線 的方程;
(Ⅱ)設(shè) ,過點(diǎn) 的直線與曲線 相交于 兩點(diǎn).
①若 是等邊三角形,求實(shí)數(shù) 的值;
②若 ,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱錐PABC中,D,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求證:
(1)直線PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為( )
A.f(x)=4sin( x+ π)
B.f(x)=4sin( x+ )
C.f(x)=4sin( x+ )
D.f(x)=4sin( x+ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的一段圖象如圖所示:將的圖象向右平移()個(gè)單位,可得到函數(shù)的圖象,且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.(1)求的值.
(2)求 的最小值,并寫出的表達(dá)式.
(3)設(shè)t>0,關(guān)于x的函數(shù)在區(qū)間上最小值為-2,求t的范圍.
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【題目】設(shè)F為雙曲線 ﹣ =1(a>b>0)的右焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線分別交兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),OA⊥AB,若2|AB|=|OA|+|OB|,則該雙曲線的離心率為( )
A.
B.2
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+4xsinα+tanα(0<a<)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
(Ⅰ)求sin2a的值;
(Ⅱ)若cos2β+2sin2β=+sinβ, β∈,求β-2α的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)P(2,1)的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ,已知直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求|PA||PB|的值.
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