Question

【題目】已知數(shù)列，前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有恒成立．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）已知關(guān)于n的不等式…對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）已知 ，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試比較與的大小并證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），證明見解析．

【解析】

（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式化簡(jiǎn)，通過累積法轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．

（2）設(shè)，利用后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差的符號(hào)，判斷數(shù)列的單調(diào)性即可．

（3）通過放縮法，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和Tn=c1+c2+c3+…+cn然后推出結(jié)果．

（1）由題意，因?yàn)?/span>2Sn=（n+1）an，

當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=nan-1，

兩式相減2an=（n+1）an-nan-1，可得（n-1）an=nan-1（n≥2），

又a1=1≠0，則an≠0，所以，

可得，

累乘得n≥2時(shí)，，

n=1時(shí)，a1=1也滿足上式，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n．

（2）設(shè)，

則

=

=，

所以f（n）在n≥3，n∈N*上單調(diào)遞減，

所以，即．

（3），

則Tn=c1+c2+c3+…+cn

=

=．

所以．