Question

已知函數．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若2xlnx≤2mx²-1在[1，e]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導函數，可得
當a＜0時，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）單調遞減，x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調遞增．
當a≥0時，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調遞增． …（4分）
（Ⅱ）2xlnx≤2mx²-1，得到
令函數，求導數，可得
a=-1時，，x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調遞增．
∴f（x）≥f（1）=1，即，∴≤0
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）≤0，g（x）單調遞減，
∴函數在[1，e]上的最大值為
∴在[1，e]上，若恒成立，則．…（12分）
分析：（Ⅰ）求導函數，對參數a進行討論，即可確定函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）先分離參數，構造函數，確定函數的最大值，即可求得m的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查分離參數法的運用，解題的關鍵是確定函數的單調性，確定函數的最值．