Question

8．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B （A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2$\sqrt{2}$，最小值為-$\sqrt{2}$，周期為π，且圖象過（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的最值求出A，B，利用函數(shù)的周期求出ω，利用圖象經(jīng)過的點(diǎn)求出φ，得到函數(shù)的解析式．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 （12分）解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的最大值為2$\sqrt{2}$，最小值為-$\sqrt{2}$，
∴A=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又∵f（x）=Asin（ωx+φ）+B的周期為π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，即ω=2．
∴f（x）=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$sin（2x+φ）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又∵函數(shù)f（x）過（0，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$），∴-$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin φ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即sin φ=-$\frac{1}{2}$．
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（2x$-\frac{π}{2}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…8’
（2）令t=2x-$\frac{π}{6}$，則y=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin t+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其增區(qū)間為：[2k$π-\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{π}{2}$]，k∈Z．
即2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z．…12’

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查計(jì)算能力．