【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]:在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),),以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為,已知直線與曲線C交于不同的兩點A,B.
(1)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)P(1,2),求的取值范圍.
【答案】(1)直線的普通方程為. 曲線的直角坐標(biāo)方程為(2)
【解析】
(1)消去參數(shù)可得直線的普通方程,利用可以化成直角坐標(biāo)方程;
(2)聯(lián)立直線和曲線方程,結(jié)合參數(shù)的幾何意義可求..
解:(1)因為,所以,兩式相減可得
直線的普通方程為.
因為,,,
所以曲線的直角坐標(biāo)方程.
(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,
整理得關(guān)于的方程: .
因為直線與曲線有兩個不同的交點,所以上述方程有兩個不同的解,設(shè)為,
則 ,.
并且,
注意到 ,解得.
因為直線的參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)形式,所以根據(jù)參數(shù)的幾何意義,
有
,
因為,所以,.
因此的取值范圍是.
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【題目】如圖,在正四棱錐S-ABCD中,E,M,N分別是BC,CD,SC的中點,動點P在線段MN上運動時,下列四個結(jié)論:①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC,其中恒成立的為( )
A.①③B.③④C.①②D.②③④
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【題目】重慶近年來旅游業(yè)高速發(fā)展,有很多著名景點,如洪崖洞、磁器口、朝天門、李子壩等.為了解端午節(jié)當(dāng)日朝天門景點游客年齡的分布情況,從年齡在22~52歲之間的旅游客中隨機抽取了1000人,制作了如圖的頻率分布直方圖.
(1)求抽取的1000人的年齡的平均數(shù)、中位數(shù);(每一組的年齡取中間值)
(2)現(xiàn)從中按照分層抽樣抽取8人,再從這8人中隨機抽取3人,記這3人中年齡在的人數(shù)為,求的分布列及.
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【題目】有一名高二學(xué)生盼望2020年進入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí),假設(shè)該名牌大學(xué)有以下條件之一均可錄。孩2020年2月通過考試進入國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(集訓(xùn)隊從2019年10月省數(shù)學(xué)競賽一等獎中選拔):②2020年3月自主招生考試通過并且達到2020年6月高考重點分?jǐn)?shù)線,③2020年6月高考達到該校錄取分?jǐn)?shù)線(該校錄取分?jǐn)?shù)線高于重點線),該學(xué)生具備參加省數(shù)學(xué)競賽、自主招生和高考的資格且估計自己通過各種考試的概率如下表
省數(shù)學(xué)競賽一等獎 | 自主招生通過 | 高考達重點線 | 高考達該校分?jǐn)?shù)線 |
0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.7 |
若該學(xué)生數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎,則該學(xué)生估計進入國家集訓(xùn)隊的概率是0.2.若進入國家集訓(xùn)隊,則提前錄取,若未被錄取,則再按②、③順序依次錄。呵懊嬉呀(jīng)被錄取后,不得參加后面的考試或錄取.(注:自主招生考試通過且高考達重點線才能錄。
(Ⅰ)求該學(xué)生參加自主招生考試的概率;
(Ⅱ)求該學(xué)生參加考試的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)求該學(xué)生被該校錄取的概率.
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【題目】已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過第四象限,求的取值范圍;
(2)若直線交軸負半軸于,交軸正半軸于,求的面積的最小值并求此時直線的方程;
(3)已知點,若點到直線的距離為,求的最大值并求此時直線的方程.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為梯形,AB//CD,,AB=AD=2CD=2,△ADP為等邊三角形.
(1)當(dāng)PB長為多少時,平面平面ABCD?并說明理由;
(2)若二面角大小為150°,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
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【題目】如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=,則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.AC⊥BEB.EF平面ABCD
C.三棱錐A-BEF的體積為定值D.異面直線AE,BF所成的角為定值
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【題目】在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面底面ABCD,,底面ABCD是直角梯形, .
(1)求證:平面PBD:
(2)設(shè)E為側(cè)棱PC上異于端點的一點,,試確定的值,使得二面角E-BD-P的余弦值為.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,證明函數(shù)是增函數(shù);
(2)是否存在實數(shù),使得只有唯一的正數(shù),當(dāng)時恒有:,若這樣的實數(shù)存在,試求、的值,若不存在,請說明理由.
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