Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xcosx在（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為x₁，x₂，…則對任意正整數(shù)n必有（　�。�

• A、-

  π

  2

  ＜xn+1-xn＜0
• B、

  π

  2

  ＜xn+1-xn＜π
• C、0＜xn+1-xn＜

  π

  2

• D、π＜xn+1＜xn＜

  3π

  2

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,作圖題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)f'（x）=cosx-xsinx=0得cosx-xsinx=0，從而得

1

x

=tanx，從而知方程

1

x

=tanx的實(shí)根就是f（x）的極值點(diǎn)，從而借助圖象求解．

解答： 解：由f'（x）=cosx-xsinx=0得cosx-xsinx=0，
顯然cosx≠0，
所以

1

x

=tanx，
易知方程

1

x

=tanx的實(shí)根就是f（x）的極值點(diǎn)．
在除(-

π

2

，

π

2

)外的正切函數(shù)的每一個周期內(nèi)，
y=

1

x

與y=tanx的圖象有且只有一個交點(diǎn)，
在（0，+∞）上設(shè)相鄰兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x_n，y_n），（x_n+1，y_n+1）
，因?yàn)?span id="xpj7ltj" class="MathJye">y=

1

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x_n＜x_n+1時，y_n＞y_n+1，
即tanx_n+1＜tanx_n=tan（x_n+π），
而y=tanx在每一個周期上都是單調(diào)遞增，
所以x_n+1＜x_n+π，
故x_n+1-x_n＜π． 
又y_n＞0，y_n+1＞0，
故xn∈(kπ，kπ+

π

2

)，xn+1∈((k+1)π，(k+1)π+

π

2

)，
因此

π

2

＜xn+1-xn＜

3π

2

，
綜上得

π

2

＜xn+1-xn＜π，
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及三角函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．