已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an+(-1)n,n≥1.
(1)寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1,a2,a3;
(2)試判斷數(shù)列{an+
2
3
(-1)n}
是否為等比數(shù)列,如果是,求出{an+
2
3
(-1)n}
的通項(xiàng)公式;如果不是,請說明理由;
(3)證明:對任意的整數(shù)m>4,有
1
a4
+
1
a5
+…+
1
am
7
8
分析:(1)是考查已知遞推公式求前幾項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題,需注意的是S1=a1,需要先求出a1才能求出a2,這是遞推公式的特點(diǎn).
(2)由已知化簡得,an=2an-1+2(-1)n-1,進(jìn)而可變?yōu)?span id="zjxlxl9" class="MathJye">an+
2
3
•(-1)n=2[an-1+
2
3
•(-1)n-1
],利用等比數(shù)列的定義可作出判斷;
(3)的解答需要在代換后,適當(dāng)?shù)淖冃危貌坏仁椒趴s法進(jìn)行放縮.
解答:解:(1)當(dāng)n=1時(shí),有:S1=a1=2a1+(-1)⇒a1=1;
當(dāng)n=2時(shí),有:S2=a1+a2=2a2+(-1)2⇒a2=0;
當(dāng)n=3時(shí),有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3⇒a3=2;
綜上可知a1=1,a2=0,a3=2;
(2){an+
2
3
(-1)n}
是等比數(shù)列,理由如下:
由已知得:an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1
化簡得:an=2an-1+2(-1)n-1
上式可化為:an+
2
3
•(-1)n
=2[an-1+
2
3
•(-1)n-1
]
故數(shù)列{an+
2
3
(-1)n}
是以a1+
2
3
•(-1)
1=
1
3
為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列.
(3)由(2)可知:an=
2
3
[2n-2-(-1)n]
,
所以
1
a4
+
1
a5
+…+
1
am
=
3
2
[
1
22-1
+
1
23+1
+…+
1
2m-2-(-1)m
]
=
3
2
[
1
3
+
1
9
+
1
15
+
1
33
+
1
63
+…+
1
2m-2-(-1)m
]
=
1
2
[1+
1
3
+
1
5
+
1
11
+
1
21
+…]
1
2
(1+
1
3
+
1
5
+
1
10
+
1
20
+…)
=
1
2
[
4
3
+
1
5
(1-
1
2m-5
)
1-
1
2
]=
1
2
[
4
3
+
2
5
-
2
5
1
2m-5
]
=
13
15
-
1
5
•(
1
2
)m-5
13
15
=
104
120
105
120
=
7
8
點(diǎn)評:本題考查的遞推數(shù)列較為典型,對數(shù)列有關(guān)公式的應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn),要能熟練的應(yīng)用.(3)中不等式證明中的放縮是一個(gè)難點(diǎn),需要有扎實(shí)的基本功及一定的運(yùn)算能力,對運(yùn)算放縮能力要求較高.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
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-1

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(2)求Sn

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