Question

5．設有關于x的一元二次方程x²+2（a-2）x+b²=0．
（1）若a∈（-5，2）且a∈Z，b∈（0，4）且b∈Z，求上述方程有實根的概率；
（2）若a∈（-5，2），b∈（0，4），求上述方程無實根的概率．

Answer 1

分析 （1）列舉出所有的滿足條件的事件，根據(jù)古典概型概率公式得到結果；
（2）a∈（-5，2），b∈（0，4），圖象如圖所示的矩形部分，其面積為28，滿足△=4（a-2）²-4b²＜0．a∈（-5，2），b∈（0，4），圖象如圖所示的陰影部分，其面積為8，由此能求出方程有實根的概率．

解答 解：（1）一元二次方程x²+2（a-2）x+b²=0的△=4（a-2）²-4b²≥0．
a∈（-5，2）且a∈Z，b∈（0，4）且b∈Z，基本事件有（-4，1），（-4，2），（-4，3），（-3，1），（-3，2），（-3，3），（-2，1），（-2，2），（-2，3），
（-1，1），（-1，2），（-1，3），（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），共18個，
滿足方程有實根的基本事件有（-4，1），（-4，2），（-4，3），（-3，1），（-3，2），（-3，3），（-2，1），（-2，2），（-2，3），（-1，1），（-1，2），
（-1，3），（0，1），（0，2），（1，1），共15個，
∴方程有實根的概率為$\frac{15}{18}$=$\frac{5}{6}$；
（2）a∈（-5，2），b∈（0，4），圖象如圖所示的矩形部分，其面積為28，
滿足△=4（a-2）²-4b²＜0．a∈（-5，2），b∈（0，4），圖象如圖所示的陰影部分，其面積為8，∴方程無實根的概率．為$\frac{8}{28}$=$\frac{2}{7}$．

點評 高中必修中學習了幾何概型和古典概型兩種概率問題，解題時，先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)．再看是不是幾何概型，它的結果要通過長度、面積或體積之比來得到．