已知橢圓的長軸長為4．
（1）若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y=x+2相切，求橢圓焦點坐標；
（2）若點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，記直線PM，PN的斜率分別為kPM，kPN，當時，求橢圓的方程．
【答案】分析：（1）由，再結(jié)合橢圓的長軸的長為4，進而根據(jù)橢圓中a，b，c的關系得到焦點的坐標．
（2）由題意可設M（x，y），N（-x，-y），P（x，y），所以有，兩式相減得：，再結(jié)合兩條直線的斜率與題中條件可得答案．
解答：解：（1）由…（2分）
又因為2a=4，
所以a=2，又a2=4，b2=2…（4分）
所以c2=a2-b2=2，
∴…（6分）
（2）由于過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N交于坐標原點對稱
不妨設：M（x，y），N（-x，-y），P（x，y）
因為M，N，P在橢圓上，
所以它們滿足橢圓方程，即有
兩式相減得：．…（8分）
由題意它們的斜率存在，則…（10分）

故所求橢圓的方程為…（12分）
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，涉及了橢圓與直線的位置關系，以及直線的斜率等問題，綜合性強．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(13分)已知橢圓的長軸長為4，A,B,C是橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓的中心O，且，，如圖.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如果橢圓上的兩點P,Q使的平分線垂直于OA，是否總存在實數(shù)，使得？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知橢圓的長軸長為4。   （1）若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線相切，求橢圓焦點坐標；   （2）若點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，記直線PM，PN的斜率分別為，當時，求橢圓的方程。

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆河北省高二下學期期中文科數(shù)學A試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的長軸長為4，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．

（Ⅰ）（�。┣髾E圓的方程； （ⅱ）求動圓圓心的軌跡方程；

（Ⅱ） 在曲線上有兩點，橢圓上有兩點，滿足與共線，

與共線，且，求四邊形面積的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年遼寧省、莊河高中高三上學期期末理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的長軸長為4，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．

（Ⅰ）（�。┣髾E圓的方程； （ⅱ）求動圓圓心軌跡的方程；

（Ⅱ） 在曲線上有兩點，橢圓上有兩點，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年安徽省蕪湖十二中高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的長軸長為4，且點在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程．
（2）過橢圓右焦點的直線l交橢圓于A、B兩點，若∠AOB是直角，其中O是坐標原點，求直線l的方程．

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