【題目】在三棱錐S﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC= , SA=SC=2,二面角S﹣AC﹣B的余弦值是 , 若S、A、B、C都在同一球面上,則該球的表面積是
【答案】6π
【解析】解:如圖所示:
取AC中點(diǎn)D,連接SD,BD,則由AB=BC,SA=SC得出SD⊥AC,BD⊥AC,
∴∠SDB為S﹣AC﹣B的平面角,且AC⊥面SBD.
由題意:AB⊥BC,AB=BC= , 易得:△ABC為等腰直角三角形,且AC=2,
又∵BD⊥AC,故BD=AD=AC,
在△SBD中,BD=AC=X2=1,
在△SAC中,SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3,
在△SBD中,由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SDBDcos∠SDB=3+1﹣2×X1X=2,
滿足SB2=SD2﹣BD2 , ∴∠SBD=90°,SB⊥BD,
又SB⊥AC,BD∩AC=D,∴SB⊥面ABC.
以SB,BA,BC為頂點(diǎn)可以補(bǔ)成一個棱長為的正方體,S、A、B、C都在正方體的外接球上,
正方體的對角線為球的一條直徑,所以2R=X , R= , 球的表面積S=4πX=6π.
故答案為:6π.
審題后,二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要條件,根據(jù)定義,先作出它的平面角,如圖所示.進(jìn)一步分析此三棱錐的結(jié)構(gòu)特征,找出其外接球半徑的幾何或數(shù)量表示,再進(jìn)行計算.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐V﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱VA⊥底面ABCD,點(diǎn)E為VA的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:VC∥平面BED;
(Ⅱ)求證:平面VAC⊥平面BED.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn),離心率為, , 是橢圓的長軸的兩個端點(diǎn)(位于右側(cè)),是橢圓在軸正半軸上的頂點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)和,使得向量與共線?如果存在,求出直線方程;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a,b∈R,ab≠0,給出下面四個命題:①a2+b2≥﹣2ab;② ≥2;③若a<b,則ac2<bc2;④若 .則a>b;其中真命題有( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】某服裝銷售公司進(jìn)行關(guān)于消費(fèi)檔次的調(diào)查,根據(jù)每人月均服裝消費(fèi)額將消費(fèi)檔次分為0-500元;500-1000元;1000-1500元;1500-2000元四個檔次,針對兩類人群各抽取100人的樣本進(jìn)行統(tǒng)計分析,各檔次人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:
0~ 500元 | 500~ 1000元 | 1000~ 1500元 | 1500~ 2000元 | |
A類 | 20 | 50 | 20 | 10 |
B類 | 50 | 30 | 10 | 10 |
月均服裝消費(fèi)額不超過1000元的人群視為中低消費(fèi)人群,超過1000元的視為中高收入人群.
(Ⅰ)從類樣本中任選一人,求此人屬于中低消費(fèi)人群的概率;
(Ⅱ)從兩類人群中各任選一人,分別記為甲、乙,估計甲的消費(fèi)檔次不低于乙的消費(fèi)檔次的概率;
(Ⅲ)以各消費(fèi)檔次的區(qū)間中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)值為該檔次的人均消費(fèi)額,估計兩類人群哪類月均服裝消費(fèi)額的方差較大(直接寫出結(jié)果,不必說明理由).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P是雙曲線 (a>0,b>0,xy≠0)上的動點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線的焦點(diǎn),M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn),且.某同學(xué)用以下方法研究|OM|:延長F2M交PF1于點(diǎn)N,可知△PNF2為等腰三角形,且M為F2N的中點(diǎn),得|OM|=|NF1|=…=a。類似地:P是橢圓 (a>b>0,xy≠0)上的動點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn),M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn),且,則|OM|的取值范圍是________.
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【題目】命題p:函數(shù)y=log2(x2﹣2x)的單調(diào)增區(qū)間是[1,+∞),命題q:函數(shù)y=的值域?yàn)椋?,1),下列命題是真命題的為( 。
A.p∧q
B.p∨q
C.p∧(¬q)
D.¬q
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+e﹣x , 其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);
(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設(shè),.
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在處的切線的方程;
(Ⅱ)如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數(shù);
(Ⅲ)如果對任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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