Question

已知函數(shù)f（x）=（mx+1）（lnx-1）．
（1）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若m=1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可求曲線y=f（x）在x=1的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0恒成立即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）若m=1，則f（x）=（x+1）（lnx-1），
則f（1）=-2，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），
函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx+

1

x

，
則f′（1）=1，
則曲線y=f（x）在x=1的切線方程為y+2=x-1，即y=x-3；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
則f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=m（lnx-1）+m+

1

x

≥0恒成立，
則mlnx≥-

1

x

，
若x=1，則不等式成立，
若lnx＞0，即x＞1時(shí)，不等式等價(jià)為m≥

-1

xlnx

成立，
設(shè)g（x）=

-1

xlnx

，則g′（x）=

1+lnx

(xlnx)2

＞0，則函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，且g（x）＜0，此時(shí)m≥0，
若lnx＜0，即0＜x＜1時(shí)，不等式等價(jià)為m≤

-1

xlnx

成立，
設(shè)g（x）=

-1

xlnx

，則g′（x）=

1+lnx

(xlnx)2

，
由g′（x）＞0解得1+lnx＞0，即lnx＞-1，

1

e

＜x＜1，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
由g′（x）＜0解得1+lnx＜0，即lnx＜-1，0＜x＜

1

e

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=

1

e

時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值為g（

1

e

）=

-1

1 e ln 1 e

=e，則此時(shí)m≤e，
綜上0≤m≤e，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，e]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的切線的求解以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．