Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，求證：f（x）≥-x²+x；
（3）若f（x）＞kx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），切線斜率，然后求解切線方程．
（2）令g（x）=f（x）+x²-x，求出g′（x）=e^x-1=0，得x=0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極小值，然后推出結(jié)果．
（3）f（x）＞kx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立$?\frac{f（x）}{x}＞k$對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，然后求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=e^x-x²-1，f′（x）=e^x-2x，
∴k=f′（0）=1，
又切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），故所求切線方程為y=x；
（2）證明：令g（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，
令g′（x）=e^x-1=0，得x=0，
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（0）=0，從而f（x）≥-x²+x．
（3）f（x）＞kx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立$?\frac{f（x）}{x}＞k$對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立
令$φ（x）=\frac{f（x）}{x}，x＞0$，
∴${φ^'}（x）=\frac{{x{f^'}（x）-f（x）}}{x^2}=\frac{{x（{e^x}-2x）-（{e^x}-{x^2}-1）}}{x^2}=\frac{{（x-1）（{e^x}-{x^2}-1）}}{x^2}$
由（2）可知當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，e^x-x-1＞0恒成立，
令φ′（x）＞0，得x＞1；φ′（x）＜0，得0＜x＜1
∴φ（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1），φ（x）_min=φ（1）=e-2
∴k＜φ（x）_min=φ（1）=e-2
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，e-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，切線的切線方程的求法，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．