Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，則

2007

i=1

ai=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分別表示出a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，兩式相減可推斷出a_n+3=a_n，進而可知數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，由此能求出結果．

解答： 解：依題意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，
兩式相減得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，
∴a₃=3
∴

2007

i=1

ai=S₂₀₀₇=669×（1+2+3）=4014．
故答案為：4014．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和問題，是中檔題，本題的關鍵是找出數(shù)列的周期性．