Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是實數集R上的奇函數，函數g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的減函數．
（1）求a的值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1在[-1，1]上恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得：f（-0）=-f（0）即f（0）=0，解得a=0．
（2）由題意可得：g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，由函數的單調性轉化為：g'（x）=λ+cosx≤0  在[-

π

2

，

π

2

]上恒成立，進而得到λ≤-1，并且g（x）_max=g（-

π

2

）=-

π

2

λ-1，
再轉化為（t+

π

2

）λ+t²+2≥0在λ∈（-∞，-1]上恒成立．把λ看為自變量利用一次函數的性質解決問題即可得到答案．

解答：解：（1）因為函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是實數集R上的奇函數，
所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，
即ln（e⁰+a）=0，解得a=0，
顯然a=0時，f（x）=x是實數集R上的奇函數．
（2）由（1）得f（x）=x，
所以g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，
因為函數g（x）是區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的減函數，
所以g'（x）=λ+cosx≤0  在[-

π

2

，

π

2

]上恒成立，
∴λ≤-1，并且在[-1，1]上g（x）_max=g（-1 ）=-λ-sin1
所以只需-λ-sin1≤t²+λt+1，
所以（t+1）λ+t²+1+sin1≥0在λ∈（-∞，-1]上恒成立．
令h（λ）=（t+

π

2

）λ+t²，（λ≤-1）
則有 （t+1）≤0，t²+1+sin1≥0，解得t≤-1．

點評：本題主要考查函數奇偶性的性質（在涉及到奇函數定義域內有0時，一般利用結論f（0）=0來作題），函數恒成立問題以及導數在最大值、最小值問題中的應用．