Question

已知雙曲線C的兩個焦點分別為F1(-2

2

，0)、F2(2

2

，0)，雙曲線上一點P到F₁、F₂的距離的差的絕對值等于4．
（Ⅰ）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線y=kx-1與雙曲線C沒有公共點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）．由于雙曲線上一點P到F₁、F₂的距離的差的絕對值等于4，利用雙曲線的定義可得2a=4，又c=2

2

，再利用b²=c²-a²即可得出；
（II）把直線y=kx-1與雙曲線C的方程聯(lián)立，利用△＜0即可得出．

解答：解：（I）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）．
∵雙曲線上一點P到F₁、F₂的距離的差的絕對值等于4，∴2a=4，解得a=2．
又c=2

2

，∴b²=c²-a²=4．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-

y2

4

=1．
（II）聯(lián)立

y=kx-1 x2-y2=4

，化為（1-k²）x²+2kx-5=0．
①當(dāng)1-k²=0時，即k=±1時，上式化為±2x-5=0，直線與雙曲線分別有一個交點，不符合題意，應(yīng)舍去；
②當(dāng)1-k²≠0時，即k≠±1時，△=4k²-4×（-5）×（1-k²）＜0，解得k＞

5

或k＜-

5

，此時直線與雙曲線無公共點．
綜上可知：直線y=kx-1與雙曲線C沒有公共點時實數(shù)k的取值范圍是(-∞，-

5

)∪(

5

，+∞)．

點評：本題考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線的公共點問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立利用△與0的關(guān)系、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．