Question

15．已知數(shù)列{a_n}是遞增等比數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，且a₁+a₄=28，a₂•a₃=27．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=（3n+1）•a_n，求其前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程組，即可求得a₁及公比q，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得b_n=（3n+1）×3^n-1，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得其前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}是遞增等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁＞0，公比為q＞1，a_n=a₁q^n-1，
a₁+a₁q³=28，①
a₁q•a₁q²=27，②
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3^n-1；
（Ⅱ）由b_n=（3n+1）×3^n-1，
則前n項(xiàng)和T_n=b₁+b₂+…+b_n=4×1+7×3+10×3²+…+（3n+1）×3^n-1，
則3T_n=4×3+7×3²+10×3³+…+（3n-2）×3^n-1+（3n+1）×3ⁿ，
兩式相減得：-2T_n=4+3×3+3×3²+…+3×3^n-1-（3n+1）×3ⁿ，
=1+3×$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-（3n+1）×3ⁿ，
=（-3n+$\frac{1}{2}$）3ⁿ-$\frac{1}{2}$，
∴T_n=（$\frac{3n}{2}$-$\frac{1}{4}$）3ⁿ+$\frac{1}{4}$=$\frac{（6n-1）×{3}^{n}+1}{4}$，
∴數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n=$\frac{（6n-1）×{3}^{n}+1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．