已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:
①f(x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);
②在f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域是
(Ⅰ)判斷函數(shù)y=-x3是否屬于集合M?并說(shuō)明理由.若是,請(qǐng)找出區(qū)間[a,b];
(Ⅱ)若函數(shù)∈M,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)判斷函數(shù)y=-x3是否屬于集合M即檢驗(yàn)函數(shù)y=-x3是否滿足①②,①可利用導(dǎo)數(shù)判單調(diào)性,②即判斷是否有解.
(Ⅱ)若函數(shù)∈M,可判斷g(x)是定義域[1,+∞)上的增函數(shù),故g(x)滿足②即方程在[1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,方法一:平方去根號(hào),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上解的問(wèn)題,利用實(shí)根分布處理;方法二:可轉(zhuǎn)化為方程在[1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).結(jié)合圖象求解.兩種方法中都要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.
解答:解:(Ⅰ)y=-x3的定義域是R,
∵y/=-3x2≤0,∴y=-x3在R上是單調(diào)減函數(shù).
則y=-x3在[a,b]上的值域是[-b3,-a3].
解得:(舍去)或(舍去)
∴函數(shù)y=-x3屬于集合M,且這個(gè)區(qū)間是

(Ⅱ)設(shè),則易知g(x)是定義域[1,+∞)上的增函數(shù).
∵g(x)∈M,∴存在區(qū)間[a,b]?[1,+∞),滿足,
即方程在[1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根.
[法一]:方程在[1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,
等價(jià)于方程在[2t,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根.
即方程x2-(4t+4)x+4t2+4=0在[2t,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根.
根據(jù)一元二次方程根的分布有
解得
因此,實(shí)數(shù)t的取值范圍是
[法二]:要使方程在[1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,
即使方程在[1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根.
如圖,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí),,

當(dāng)直線與曲線相切時(shí),
方程兩邊平方,得x2-(4t+4)x+4t2+4=0,由△=0,得t=0.
因此,利用數(shù)形結(jié)合得實(shí)數(shù)t的取值范圍是
點(diǎn)評(píng):本題考查集合的包含關(guān)系、函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題,同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和利用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:
①函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù);
②在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a,b]使得f(x)在[a,b]上的最小值是
a
2
,且最大值是
b
2
.請(qǐng)解答以下問(wèn)題
(1)判斷函數(shù)f(x)=x+
2
x
(x∈(0,+∞))
是否屬于集合M?并說(shuō)明理由;
(2)判斷函數(shù)g(x)=-x3是否屬于集合M?并說(shuō)明理由.若是,請(qǐng)找出滿足②的閉區(qū)間[a,b];
(3)若函數(shù)h(x)=
x-1
+t∈M
,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:
①f(x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);
②在f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域是[
1
2
a,
1
2
b]

(Ⅰ)判斷函數(shù)y=-x3是否屬于集合M?并說(shuō)明理由.若是,請(qǐng)找出區(qū)間[a,b];
(Ⅱ)若函數(shù)y=
x-1
+t
∈M,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的集合:①f(x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);②在f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間,使得f(x)在[a,b]上的值域是[
1
2
a,
1
2
b]

(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)=
x
是否屬于集合M?若是,則求出a,b,若不是,說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)=
x-1
+t∈M
,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體
①函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù).
②f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇
a
2
,
b
2
].
(1)判斷函數(shù)f(x)=x+
2
x
(x>0)
是否屬于M,說(shuō)明理由.
(2)判斷g(x)=-x3是否屬于M,說(shuō)明理由,若是,求出滿足②的區(qū)間[a,b].

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已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:①f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù);②在f(x)的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a,b],使得f(x)在[a,b]上的最小值是
a
2
,最大值是
b
2
.請(qǐng)解答以下問(wèn)題:
(1)判斷函數(shù)g(x)=-x3是否屬于集合M?并說(shuō)明理由,若是,請(qǐng)找出滿足②的閉區(qū)間[a,b];
(2)若函數(shù)h(x)=
x-1
+t∈M
,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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