橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
3
2
，點A是橢圓上的一點，且點A到橢圓C兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）為橢圓C上一動點，直線L：mx+4ny-4=0與圓C′：x2+y2=4相交于A、B兩點，求三角形OAB面積的最大值及此時直線L的方程．
分析：（1）依題意可求得a=2，再利用其離心率e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
可求得b，從而可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)圓心O到直線L的距離為d，可求得d=
4
4+12n2
，結(jié)合n∈（0，1]，可求得d的范圍；利用基本不等式可求得S△OAB最大值為2，繼而可得n，m的值，從而可求得直線L的方程．
解答：解：（1）由橢圓定義知2a=4，
∴a=2，又e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
得b=1，
∴所求橢圓方程為
x2
4
+y2=1．
（2）設(shè)圓心O到直線L的距離為d，則d=
4
m2+(4n)2
，又有
m2
4
+n2=1，
所以d=
4
m2+(4n)2
=
4
4+12n2
，又n∈（0，1]，
∴d∈[1，2），
S△OAB=
1
2
|AB|•d=
4-d2
•d=
d2(4-d2)
≤
(
d2+4-d2
2
)2
=2（當(dāng)d2=4-d2即d=
2
時S△OAB最大），
∴S△OAB最大值為2，
d=
2
⇒
4
4+12n2
=
2
，n＞0，
∴n=
3
3
，
m2=4-4n2=
8
3
，又m＞0，
∴m=
2
6
3
．
所以直線L的方程為
2
6
3
x+
4
3
3
y-12=0，即x+
2
y-3
6
=0．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，突出考查基本不等式的應(yīng)用，考查分析、運算的能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直線l和橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直角坐標系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A1，A2，上、下頂點為B2，B1，點P（
3
5
a，m）（m＞0）是橢圓C上一點，PO⊥A2B2，直線PO分別交A1B1、A2B2于點M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)R點是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點，RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點為F1（-1，0），右焦點為F2（1，0），短軸兩個端點為A、B．與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當(dāng)弦MN的中點P落在△MF1F2內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

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同步練習(xí)冊答案