Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，并且滿足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）令，問是否存在正整數(shù)m，對一切正整數(shù)n，總有T_n≤T_m，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）令n=1，由a₁=2及na_n+1=S_n+n（n+1）①
得a₂=4，故a₂-a₁=2，當(dāng)n≥2時，有（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1）②
①-②得：na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n
整理得，a_n+1-a_n=2（n≥2）
當(dāng)n=1時，a₂-a₁=2，
所以數(shù)列{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
故a_n=2n…（6分）
（2）由（1）得S_n=n（n+1），
所以．
故，
令，即
解得8≤n≤9．
故T₁＜T₂＜…＜T₈=T₉＞T₁₀＞T₁₁＞…
故存在正整數(shù)m對一切正整數(shù)n，
總有T_n≤T_m，此時m=8或m=9…..（13分）
分析：（1）令n=1，可求出a₂，根據(jù)na_n+1=S_n+n（n+1）可得當(dāng)n≥2時，有（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），兩式相減可a_n+1-a_n=2，驗證當(dāng)n=1時，是否成立，從而得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，從而求出{a_n}的通項公式；
（2）由（1）得S_n，從而求出T_n，然后求出T_n+1與T_n-1，然后求出滿足的n，從而可知求出正整數(shù)m對一切正整數(shù)n，總有T_n≤T_m．
點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及數(shù)列的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．