如圖,三棱柱
中,
平面
,
,
, 點(diǎn)
在線段
上,且
,
.
(Ⅰ)求證:直線
與平面
不平行;
(Ⅱ)設(shè)平面
與平面
所成的銳二面角為
,若
,求
的長(zhǎng);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設(shè)平面
平面
,求直線
與
所成的角的余弦值.
(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)
.(Ⅲ)直線
與
所成的角的余弦值為
.
(I)本小題易用空間向量法解決,易求出平面ABC的法向量,然后證明向量DE與平面ABC的法向量的數(shù)量積不等于零即可.
(2)先求出平面
的一個(gè)法向量,然后
,可以求出此直棱柱的高.
(3)先找出平面平面
與平面
的交線.在平面
內(nèi),分別延長(zhǎng)
,交于點(diǎn)
,連結(jié)
,則直線
為平面
與平面
的交線.
然后求出
的坐標(biāo),再根據(jù)
,求出直線
與
所成的角的余弦值.
依題意,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,設(shè)
,則
.2分
(Ⅰ)證明:由
平面
可知
為平面
的一個(gè)法向量.
∴
.∴ 直線
與平面
不平行. 4分
(Ⅱ)設(shè)平面
的法向量為
,則
,
取
,則
,故
.6分
∴
,7分解得
.∴
.
(Ⅲ)在平面
內(nèi),分別延長(zhǎng)
,交于點(diǎn)
,連結(jié)
,則直線
為平面
與平面
的交線.∵
,
,∴
.∴
,
∴
.········ 11分
由(Ⅱ)知,
,故
,
∴
.∴ 直線
與
所成的角的余弦值為
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分12分)
如圖所示,已知
M、N分別是AC、AD的中點(diǎn),BC
CD.
(Ⅰ)求證:MN∥平面BCD;
(Ⅱ)求證:平面B CD
平面ABC;
(Ⅲ)若AB=1,BC=
,求直線AC與平面BCD所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)如圖5,正△
的邊長(zhǎng)為4,
是
邊上的高,
分別是
和
邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△
沿
翻折成直二面角
.
(1)試判斷直線
與平面
的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求二面角
的余弦值;
(3)在線段
上是否存在一點(diǎn)
,使
?如果存在,求出
的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖,在三棱錐
中,底面
是邊長(zhǎng)為4的正三角形,平面
,M,N分別為AB,SB的中點(diǎn).
(1)求證:
(2)求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,已知四棱錐
的底面為菱形,且
,
.
(I)求證:平面
平面
;
(II)求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
敘述并證明兩個(gè)平面垂直的判定定理。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知
,
是不同的平面,
,
是不同的直線,給出下列命題:
①若
,則
;
②若
,則
;
③若
是異面直線,則
與
相交;
④若
,且
,則
.
其中真命題的個(gè)數(shù)是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知梯形ABCD,
,E為AB的中點(diǎn),將
沿
折起,使點(diǎn)A移至點(diǎn)P,若平面
平面
,則D點(diǎn)到平面
的距離是( )
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