Question

20．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，AD平分∠BAC，AB=6，AD=3$\sqrt{2}$，AC=4．
（1）利用正弦定理證明：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$；
（2）求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理知$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$，由已知及誘導(dǎo)公式可得sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠DAC，由①÷②即可得證．
（2）由（1）知，$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$，設(shè)BD=3x，DC=2x（x＞0），則BC=5x，由cos∠BDA+cos∠ADC=0及余弦定理即可解得x的值，從而得解．

解答 解：（1）證明：由正弦定理知，在△ABD中，$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$；
在△ADC中，$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$，
由∠ADB+∠ADC=π，∠BAD=∠DAC，
得sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠DAC．
由①÷②得：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$．
（2）由（1）知，$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$，
設(shè)BD=3x，DC=2x（x＞0），
則BC=5x，
由cos∠BDA+cos∠ADC=0及余弦定理知，$\frac{{9{x^2}+18-36}}{{18\sqrt{2}x}}+\frac{{4{x^2}+18-16}}{{12\sqrt{2}x}}=0$，
解得x=1，
所以BC=5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．