Question

設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件

x+y+2≥0 2x+7y-6≤0 x≤0 y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=-ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值為 8，則

4

a

+

2

b

的最小值為（　　）

Answer 1

分析：依題意，可求得目標(biāo)函數(shù)z=-ax+by（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-4，2）時(shí)，有最大值8，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵x，y滿(mǎn)足約束條件

x+y+2≥0 2x+7y-6≤0 x≤0 y≥0

，
∴可行域如下圖：

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=-ax+by經(jīng)過(guò)可行域四邊形PAOB（及其內(nèi)部）的點(diǎn)P時(shí)，目標(biāo)函數(shù)y=

ax+z

b

（a＞0，b＞0）在y軸上的截距達(dá)到最大值8，
∴由

x+y+2=0 2x+7y-6=0

解得P（-4，2）．
∴-a×（-4）+2b=8，即2a+b=4．（a＞0，b＞0）．
∴

4

a

+

2

b

=（

4

a

+

2

b

）•

1

4

（2a+b）=2+

1

2

+

b

a

+

a

b

≥

5

2

+2=

9

2

．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

4

3

時(shí)取“=”）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，考查基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查作圖能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．