Question

13．對于一個向量組$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3$，…，$\overrightarrow{a_n}$（n≥3，n∈N^*），令$\overrightarrow{S_n}$=$\overrightarrow{a_1}$+$\overrightarrow{a_2}$+$\overrightarrow{a_3}$+…+$\overrightarrow{a_n}$，如果存在$\overrightarrow{a_p}$（p∈N^*），使得|$\overrightarrow{a_p}$|≥|$\overrightarrow{S_n}$-$\overrightarrow{a_p}$|，那么稱$\overrightarrow{a_p}$是該向量組的“長向量”
（1）若$\overrightarrow{a_3}$是向量組$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$的“長向量”，且$\overrightarrow{a_n}$=（n，x+n），求實數(shù)x的取值范圍；
（2）已知$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$均是向量組$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$的“長向量”，試探究$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$的等量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)長向量的定義即可得出$|\overrightarrow{{a}_{3}}|≥|\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}|$，根據(jù)條件即可求出向量$\overrightarrow{{a}_{3}}，\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}$的坐標，從而建立關(guān)于x的不等式，解不等式便可得出x的取值范圍；
（2）容易得出${\overrightarrow{a_1}^2}≥{\overrightarrow{a_2}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_2}•\overrightarrow{a_3}$，${\overrightarrow{a_2}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}$，${\overrightarrow{a_3}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_2}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}$，這三個式子相加并進行化簡便可得出$（\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}+\overrightarrow{{a}_{3}}）^{2}≤0$，從而得出$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}+\overrightarrow{{a}_{3}}=\overrightarrow{0}$．

解答 解：（1）由題意，得：$|\overrightarrow{a_3}|≥|\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}|$，且$\overrightarrow{{a}_{1}}=（1，x+1），\overrightarrow{{a}_{2}}=（2，x+2），\overrightarrow{{a}_{3}}=（3，x+3）$；
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}=（3，2x+3）$；
∴$\sqrt{9+{{（x+3）}^2}}≥\sqrt{9+{{（2x+3）}^2}}$
解得：-2≤x≤0；
∴實數(shù)x的取值范圍為[-2，0]；
（2）由題意，得：$|\overrightarrow{a_1}|≥|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}|$，$|\overrightarrow{a_1}{|^2}≥|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}{|^2}$，即${\overrightarrow{a_1}^2}≥{（\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}）^2}$；
即${\overrightarrow{a_1}^2}≥{\overrightarrow{a_2}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_2}•\overrightarrow{a_3}$，同理${\overrightarrow{a_2}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}$，${\overrightarrow{a_3}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_2}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}$；
三式相加并化簡，得：$0≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_2}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}+2\overrightarrow{a_2}•\overrightarrow{a_3}$；
即${（\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}）^2}≤0$，$|\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}|≤0$；
∴$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow 0$．

點評 考查對新定義“長向量”概念的理解，向量坐標的概念，向量坐標的加法運算，根據(jù)向量坐標可求向量長度，一元二次不等式的解法，完全平方公式，以及向量數(shù)量積的運算．