Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

(x2+1)

-ax，x∈R．是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=

x2+1

，y=-ax在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．kd 函數(shù)f（x）=

(x2+1)

-ax，在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=

x

x2+1

-a，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
則f′（x）≤0恒成立，即a≥

x

x2+1

，令g（x）=

x

x2+1

．求出其最大值即可．

解答： 解：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=

x2+1

，y=-ax在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）=

(x2+1)

-ax，在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=

x

x2+1

-a，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f′（x）≤0恒成立，∴a≥

x

x2+1

，
令g（x）=

x

x2+1

．
當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=

1

1+ 1 x2

＜1，
∴a≥1．
因此，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法，考查了轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．