Question

已知拋物線(xiàn)C：y=

1

4

x2在點(diǎn)A處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)l'：y=x+1平行．
（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)和直線(xiàn)l的方程；
（2）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)切線(xiàn)方程，聯(lián)立切線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，根據(jù)A為切點(diǎn)，方程只有一組解求出直線(xiàn)l的方程；進(jìn)而求出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)圓A的半徑r等于圓心A到的距離求出半徑即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)C：y=

1

4

x2在點(diǎn)A處的切線(xiàn)l的方程為：y=x+b    ①，
由

y=x+b x2=4y

⇒x²-4x-4b=0．②
令△=4²-4×（-4b）=0⇒b=-1，代入②得x=2，結(jié)合①得y=1
所以：A（2，1），直線(xiàn)l的方程為y=x-1．
（2）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為y=-1，所以圓A的半徑r等于圓心A到的距離，即r=2．
所以圓A的方程為（x-2）²+（y-1）²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察圓與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．解決第一問(wèn)的關(guān)鍵在于設(shè)切線(xiàn)方程，聯(lián)立切線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，根據(jù)A為切點(diǎn)，方程只有一組解求出直線(xiàn)l的方程．