Question

 

如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC中∠C=90°，B、C在x軸上且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長(zhǎng)為12.若一雙曲線E以B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)P（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線L與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且，問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)G，使？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）設(shè)雙曲線E的方程為（a>0, b>0），則B(-c,0)，D(c,0)，C（c,0）

由BD=3DC，得c+a=3(c-a)，即c=2a

∴   解之得a=1, ∴c=2,b=

∴雙曲線E的方程為

(2)如圖,設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)G(t,0),使

設(shè)直線l的方程為x-m=ky, M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)

由，得y₁+λy₂=0，即①

∵，，

∴

即ky₁+m-t=λ(ky₂+m-t) ②

把①代入②得   2ky₁y₂+(m-t)(y₁+y₂)=0③

把x-m=ky代入并整理得(3k)y²+6kmy+3(m)=0,

其中3k≠0且△＞0

即且3k²+m²＞1

，代入③得

化簡(jiǎn)得kmt=t.當(dāng)時(shí)，上式恒成立。

因此，在x軸上存在定點(diǎn)，使。