Question

（A班）已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）點(diǎn)P（x，y）在圓C上移動(dòng)，求x+y的取值范圍；
（2）若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線的方程；
（3）從圓C外一點(diǎn)P（x₁，y₁）向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由已知得

x=-1+ 2 cosθ y=2+ 2 sinθ

，0≤θ＜2π，由此能求出x+y的取值范圍．
（2）當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)切線方程為x+y=a，由已知得

|-1+2-a|

2

=

2

；當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)y=kx，同理可得k=2+

6

或k=2-

6

，由此能求出切線的方程．
（3）由已知得|PC|²-|CM|²=|PM|²=|PO|²，由此能求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，
圓心C（-1，2），半徑r=

1

2

4+16-12

=

2

，
∴

x=-1+ 2 cosθ y=2+ 2 sinθ

，0≤θ＜2π，即P（-1+

2

cosθ，2+

2

sinθ），
∴x+y=-1+

2

cosθ+2+

2

sinθ
=2sin（θ+

π

4

）+1，
∴（x+y）_min=1-2=-1，（x+y）_max=1+2=3，
∴x+y的取值范圍是[-1，3]．
（2）∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，
∴當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)切線方程為x+y=a，
又∵圓C：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圓心C（-1，2）到切線的距離等于圓半徑，即

|-1+2-a|

2

=

2

，
∴a=-1或a=3；
當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)y=kx，同理可得k=2+

6

或k=2-

6

，
則所求切線的方程為x+y+1=0或x+y-3=0或y=（2+

6

）x或y=（2-

6

）x．
（3）∵切線PM與半徑CM垂直，
∴|PC|²-|CM|²=|PM|²=|PO|²，
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₂²，
∴2x₁-4y₁+3=0，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線2x-4y+3=0，
∵|PM|的最小值就是|PO|的最小值，而|PO|的最小值為點(diǎn)O到直線2x-4y+3=0的距離d=

3 5

10

，
∴由

x12+y12= 9 20 2x1-4y1+3=0

，得

x1=- 3 10 y1= 3 5

，
則所求點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

3

10

，

3

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩數(shù)和取值范圍的求法，考查切線方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的畚數(shù)方程的合理運(yùn)用．